Диференційовність функції

Функція називається диференційованою в точці , якщо її приріст у цій точці можна подати у вигляді

, (1)

де - деяке число, не залежне від , а - нескінчено мала функція при , тобто .

Зв'язок між диференційованістю функції в точці і існуванням похідної даної функції в цій точці установлюється наступною теоремою.

Теорема. Для того, щоб функція функції була диференційована в точці , необхідно і достатньо, щоб вона мала в цій точці скінчену похідну.

Доведення. Необхідність. Нехай функція диференційована в точці , тобто її приріст можна подати у вигляді (1). Тоді

.

Звідси випливає, що в точці існує похідна .

Достатність. Нехай функція має в точці похідну . За означенням похідної маємо . За властивістю границі є нескінченно малою функцією при . Отже, , тобто , де - деяке число, а .

Зауваження. Вираз не визначений при , а отже, за цієї умови не визначений вираз (1). Щоб позбутися цієї невизначеності достатньо покласти .

Зв'язок між диференційованістю і неперервністю функції розкривається в наступній теоремі.

Теорема. Якщо функція диференційована в точці , то вона в цій точці неперервна.

Доведення. Так як функція диференційована в точці , то її приріст в цій точці можна подати у вигляді .

Тоді

.

Отже, в точці , де функція диференційована, нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції, а це означає, що в точці функція неперервна.

Наслідок. Якщо функція в кожній точці деякого проміжку має скінчену похідну, то на цьому проміжку вона неперервна.

Зауваження. Неперервність функції в даній точці не є достатньою умовою її диференційованості. Наприклад, функція неперервна в точці , але в цій точці, як було показано в пункті 1.2. вона не диференційована.