Теорема про неперервність оберненої функції.

Нехай функція визначена, строго монотонна й неперервна на деякому проміжку , і нехай множина − множина значень. Тоді на множині обернена функція однозначна, строго монотонна та неперервна.

Доведення. Нехай для визначеності функція на множині зростаюча, тобто для довільних , що задовольняють умову , виконується нерівність .

Однозначність оберненої функції випливає з того, що, оскільки зростаюча на , справедлива нерівність при . Отже, кожному відповідає єдине значення .

Покажемо, що обернена функція на множині зростаюча. Дійсно, якщо , то , оскільки за умови виконувалася б умова , що суперечить допущенню .

Установимо тепер, що функція на множині неперервна. Для цього спочатку доведемо наступну лему.

Лема. Якщо множина значень монотонно зростаючої (спадної) функції , визначеної на деякій множині , знаходиться в деякому проміжку , який вона заповнює весь, то функція в проміжку неперервна.

Щоб це довести, візьмемо точку , котра не є його правим кінцем, і покажемо, що в цій точці функція неперервна справа. Точка належить проміжку і не є його кінцем тому, що є значення такі, що і їм відповідають у значення . Нехай довільне, але настільки мале число, щоб значення також належало проміжку . Оскільки за припущенням , то існує таке значення , що , причому (оскільки при і ). Покладемо , тобто . Якщо тепер , тобто , то або .

Це і означає, що . Тобто функція неперервна в точці справа.

Аналогічно можна встановити неперервність функції у точці зліва, якщо не є лівим кінцем проміжку . Звідси в сукупності буде випливати твердження, що розглядаємо.

Перейдемо до доведення неперервності функції . Оскільки ця функція, як уже встановлено, монотонна і її значення, згідно з умовою, заповнюють увесь проміжок , то відповідно до леми функція неперервна.

ТЕМА 5. Диференціальне числення функції однієї змінної.

ЛЕКЦІЯ 15

5. Задачі, що проводять до поняття похідної.

6. Означення похідної.

7. Механічний та геометричний зміст похідної.

8. Односторонні похідні.

9. Нескінченні похідні.