Диференціал функції

Нехай функція диференційована в точці . Тоді її приріст у цій точці можна подати у вигляді

,

де при . Отже, доданок є головною частиною приросту функції, яка лінійно залежить від .

Диференціалом функції в точці називається головна частина приросту функції в цій точці, яка лінійно залежить від .

Диференціал функції позначається так:

.

Враховуючи, що , маємо

.

Диференціалом незалежної змінної називається її приріст: .

Отже,

.

Із останньої формули випливає, що похідну можна обчислити як відношення диференціалів:

.

Диференціал функції має наступний геометричний зміст. Нехай точка (рис. 21) на графіку функції має координати , де .

Пряма - дотична до графіка функції в точці . Тоді приріст в точці , який відповідає приросту аргументу, рівний величині відрізка . Оскільки і , то, враховуючи, що , маємо: диференціал функції в точці дорівнює приросту ординати дотичної, проведеної до графіка функції в точці з абсцисою , тобто дорівнює величині відрізка .

Оскільки диференціал функції є головною частиною її приросту, то це дає можливість застосувати диференціал функції в наближених обчисленнях: із наближеної рівності , тобто

.

Отже

(1)

Приклад. Знайти наближено .

Розв'язування. Розглянемо функцію . Покладемо . Тоді . Далі маємо .

Отже, .

Якщо функції диференційовані, то мають місце наступні формули:

,

,

,

.

Нехай тепер маємо складену функцію , де диференційовані функції в точках і . Тоді

.

Так як

,

то

.

Оскільки , то маємо .

Таким чином, якщо функція складена, то форма диференціалу не змінює свого виду. Цю властивість називають інваріантністю форми диференціалу.