Теорема Ролля

Теорема. Якщо функція визначена на відрізку і вона

1) неперервна в кожній точці відрізка .

2) диференційована на інтервалі .

3) на кінцях відрізка приймає рівні значення ,

то існує точка така, що .

Доведення. Оскільки функція неперервна на відрізку , то за другою теоремою Вейєрштрасса існують точки , в яких функція приймає найменше і найбільше значення, тобто і .

Якщо , то функція на відрізку приймає постійне значення, оскільки . Тому в будь-якій точці інтервалу .

Якщо , то принаймні одне із значень або функція приймає у деякій точці , тобто на кінцях відрізка (оскільки ).

Так як функція диференційована в точці , то за теоремою Ферма .

Із теореми Ролля випливає, що для функції неперервної на відрізку , диференційованої на інтервалі і такої, що , існує точка така, що дотична до графіка функції у точці паралельна вісі (рис. 23).