Формула Тейлора для довільної функції

Теорема Тейлора. Нехай функція в точці і в деякому її околі має похідні - го порядку. Нехай також деяка точка, що належить околу, про який йде мова. Тоді існує точка , яка лежить між точками і , така, що

(3)

Доведення. Позначимо

Покладемо

Покажемо, що існує точка така, що

.

Зафіксуємо довільну точку із вказаного околу точки . Для визначеності уважатимемо, що . Нехай - змінна, яка пробігає значення відрізку . Складемо допоміжну функцію

.

Функція на відрізку задовольняє всім умовам теореми Ролля:

1) неперервна на ,

2) диференційована на ,

(ці властивості функції випливають із умов, накладених на функцію )

3) на кінцях відрізка функція має рівні значення. Дійсно

Отже, за теоремою Ролля існує точка така, що . Знайдемо .

Оскільки в правій частині одержаної формули знищуються всі члени, за виключенням двох останніх, то

.

Далі маємо:

.

Звідси одержуємо:

.

Формула (3) називається формулою Тейлора, а одержаний вираз - залишковим членом у формі Лагранжа.

Оскільки , то , де . Тоді

, де .

Якщо в формулі Тейлора покласти , то тоді

При маємо формулу Лагранжа

Якщо функція в околі точки обмежена, то залишковий член є нескінченно малою вищого порядку порівняно з при . Дійсно

.

Отже, залишковий член можна подати у формі

при ,

яка називається формою Пеано.

Якщо в формулі Тейлора покласти , то одержимо формулу Маклорена

.

У цій формулі залишковий член у формі Лагранжа має вигляд

де ,

а в формі Пеано

.

Приклади. Записати формулу Маклорена для функції 1) ; 2) ; 3) .