Розв’язування.

1. Функція визначена в інтервалі .

2. .

3. Розв’язками рівняння є .

4. В інтервалі , функція спадає; в інтервалі , функція зростає; інтервалі , функція спадає; в інтервалі , функція зростає.

5. Точки є точками мінімуму, а точка є точкою максимуму даної функції.

6. .

Для знаходження екстремумів функції можна застосовувати другу похідну . Це випливає із наступної теореми.

Теорема. Нехай - стаціонарна точка функції і в цій точці існує похідна другого порядку . Тоді, якщо , то точка є точкою мінімуму функції , а якщо , то – максимуму.

Доведення. Згідно з умовою теореми . Нехай . Тоді похідна в точці є зростаючою функцією, а тому існує окіл точки такий, що і . Оскільки , то і , тобто при переході через точку похідна змінює свій знак з “-“ на “+”. Отже, точка є точкою мінімуму функції .

Випадок, коли досліджується аналогічно.

Скориставшись формулою Тейлора, можна довести наступну теорему.

Теорема. Якщо в стаціонарній точці функції перша відмінна від нуля похідна є похідною парного порядку, то точка є точкою екстремуму функції : точкою мінімуму, якщо і точкою максимуму, якщо . Якщо ж перша відмінна від нуля похідна є похідною непарного порядку, то точка не є точкою екстремуму функції .

4. Знаходження найбільшого й найменшого значення функції на відрізку

Для знаходження найбільшого й найменшого значення функції , неперервної на відрізку , потрібно знайти всі її локальні екстремуми на цьому відрізку та її значення на кінцях відрізка, тобто . Потім з одержаних значень вибрати найменше й найбільше.

ЛЕКЦІЯ 22

1. Опуклість та вгнутість кривої. Точки перегину.

2. Асимптоти графіка функції.

3. Загальна схема дослідження функцій і побудови їх графіків.