Достатні умови існування екстремуму функції.

Теорема. Нехай - критична точка функції , неперервна в точці і має похідну в усіх точках околу за виключенням, можливо самої точки . Тоді

1) якщо і , то точка є точкою максимуму функції .

2) якщо і , то точка є точкою мінімуму функції .

3) Якщо в околі має один і той же знак, то не є точкою екстремуму функції .

Доведення. 1). Нехай і . Звідси за ознаками монотонності функції маємо: якщо і . Отже, для будь-якого із околу виконується нерівність , тобто точка є точкою максимуму функції .

Доведення пунктів 2), 3) аналогічні.

Із сказаного випливає правилодослідження функції на екстремум. Щоб дослідити функцію на екстремум треба:

1. Знайти область визначення функції.
2. Знайти - першу похідну функції .
3. Розв’язати рівняння та визначити ті значення , при яких або не існує. Нехай після виконання цих дій одержано точки , які знаходяться в інтервалі області визначення функції .
4. У кожному з інтервалів взяти довільну точку і визначити в ній знак першої похідної. Який знак матиме похідна у вибраній точці, такий же знак вона матиме й у відповідному інтервалі.
5. Розглянути знак у сусідніх інтервалах, переходячи послідовно зліва направо від першого інтервалу до останнього. Якщо при цьому знаки у двох сусідніх інтервалах різні. То в критичній точці є екстремум: максимум, якщо знак змінюється з “+” на “-“, мінімум, якщо знак змінюється з “-“ на “+”. Якщо ж у двох сусідніх інтервалах знак першої похідної не змінюється. То екстремуму у відповідній критичній точці немає.

Приклад. Дослідити наекстремум функцію

.