Теорема Лагранжа

Якщо функція визначена на відрізку і вона

1) неперервна в кожній точці відрізка ,

2) диференційована на інтервалі , то існує точка така, що

.

Доведення. Розглянемо допоміжну функцію

.

Ця функція визначена на відрізку і задовольняє всім умовам теореми Ролля. Дійсно,

1) оскільки і неперервні функції на відрізку , то і функція також неперервна на .

2) функція диференційована на інтервалі :

.

3) на кінцях відрізку функція має рівні значення

.

За теоремою Ролля існує точка така, що , тобто

.

Звідси маємо

.

Зауваження. Якщо функція на відрізку задовольняє умовам теореми Лагранжа, то із останньої формули одержуємо

.

Ця формула називається формулою скінчених приростів або формулою Лагранжа. Якщо в цій формулі покласти , то одержимо

, де .

Геометричний зміст теореми Лагранжа полягає в наступному. Якщо функція задовольняє умовам теореми Лагранжа, то існує точка така, що дотична до графіка функції у точці паралельна хорді, проведеній через точки (рис. 24).