Теория статистических испытаний.

Предположим, что наблюдатель проводит одно измерение величины х и по результату этого измерения должен произвести выбор либо в пользу гипотезы Н₀, либо в пользу гипотезы Н₁.

Если при измерении х =а₀ (или х=а₁), то выбор между двумя гипотезами вполне определён: Н₀ (Н₁), тоже и при х< а₀ (х > а₁). При а₀< x< a₁ выбираем точку х₀. Принимаем что если х> x₀, то выбираем R₁, если х< x₀, то-R₀. Вопрос стоит в выборе х₀. Основная стратегия выбора х₀ заключается в том, чтобы обеспечить длительный успех на протяжении нескольких испытаний. Обозначим x - априорную вероятность события Н₀ - эта вероятность полученная до опыта (1-x --апр. вер. Н₁). x можно связать с частотой события Н₀ на протяжении какого-либо срока. Необходимо за какой-то период предшествующий данному знать сколько раз происходила Н₀ Н₁.

Получим вероятность ошибок при неправильном предсказании: Ошибка первого рода: когда выбирается гип. Н₁, в то время как справедливо гип. Н₀:

Ошибка второго рода: когда выбирается гип. Н₀, в то время как справедливо гип. Н₁:

Предположим что за ошибку первого рода взымается какая-либо стоимость С, тогда C₀Q₀-называется риском, соответствующий гип. Н₀

C₁Q₁-называется риском, соответствующий гип. Н₁

Средний риск

Задача состоит в том, чтобы минимизировать средний риск при принятии нескольких решений.

17. Гаусовский и экспоненциальный законы распределения.

Гауссовский. Этому распределению подчиняются такие случайные величины, для которых на их возможные значения влияют несколько факторов при чем влияние каждого несущественно. Случайная величина Х подчиняется нормальному распределению в случае если ее функция плотности распределения имеет вид: f(x)=1/(bÖ 2p)exp(-(x-a)²/2b²), где а и b параметры распределения. a=m_x, то есть мат. ожидание, b - среднеквадратическое отклонение. График функции f(х) симметричен относительно прямой х=m_x. Функция имеет единственный максимум который достигается в точке х=m_x и значение f_max=1/(bÖ 2p). При х®±¥ f(x)®0. При b=const, и изменяющемся значении а график смещается вдоль оси ОХ. Если а=const, а b изменяется график вытягивается относительно оси ОУ. Применение распределение Гаусса используется в двух случаях: при заданном среднем значении и стандартном отклонении (при надо вычислять вероятность того, что случайная переменная меньше, равняется или больше известной границы), когда значение функции распределения задано, а надо определить принадлежность интеграла границе. График нормального распределения:

Функция F(x)- функция распределения для нормально распределенной нормальной величины F(x)=1/(bÖ 2p)ò _-¥ ^x exp(-(x-m_x)²/(2b²)dx. F(x)- вероятность попадания нормально распределенной величины на заданный промежуток.

Экспоненциальное распределение. Говорят, что непрерывная случайная величина Х распределена по експоненциальному закону если плотность распределения этой случайной величины имеет вид:

, где l- параметр распределения. F(x)-функция распределения для экспоненциально распределенной случайной величины, другими словами это вероятность попадания экспоненциально распределенной случайной величины на заданный промежуток. Для данного распределения F(x)=1-е^-lх

(график зависимости f(x) от х)