Элементы аппарата теории поверхностей

Обратимся к обсуждению двух классических подходов, используемых для описания поверхностей в трёхмерном евклидовом пространстве – методу Монжа и методу Гаусса.

Основным соотношением в методе Монжа является уравнение, связывающее декартовы координаты точек поверхности:

(1)

При этом гауссова кривизна поверхности – одна из ключевых ее внутригеометрических характеристик – определяется формулой

, (2) использующей частные производные функции (1)

, , , , .

Разрешить дифференциальное уравнение (2) относительно функции ) означало бы описать в пространстве все поверхности с априори заданной кривизной по их форме и положению в пространстве. В общем случае (при произвольной кривизне) выполнить интегрирование уравнения (2) не представляется возможным. Однако наряду с этим полному исследованию поддаются частные случаи, когда кривизна поверхности является постоянной. Уравнение (2) при будет базовым соотношением, используемым ниже для получения явного вида псевдосферических поверхностей.

Другим важным подходом к исследованию поверхностей является метод Гаусса, в соответствии с которым общее аналитическое выражение поверхности определяется заданием декартовых координат точек поверхности как функций двух параметров и :

, ,

Сама поверхность при этом однозначно (с точностью до движения) определяется в пространстве своим радиусом-вектором и вектором единичной нормали .

Наряду с и в дифференциальной геометрии также для однозначного определения поверхности обычно используются первая и вторая квадратичные формы поверхности :

, (3)

, (4)

отвечающие соответственно за ее внутреннюю и внешнюю геометрии. Отметим, что коэффициенты метрики (3) определяются исключительно радиусом-вектором и однозначным образом задают гауссову кривизну поверхности .

Поставим задачу об отыскании в пространстве поверхности, определяемой некоторой метрикой (3) кривизны K. Такая задача называется задачей об изометрическом погружении метрики в евклидово пространство . Разрешение данной задачи связано с интегрированием основных уравнений теории поверхностей:

уравнения Петерсона–Кодацци

, (5)

, (6)

уравнение Гаусса

, (7)

деривационные формулы

, (8)

, (9)

, (10)

, (11)

. (11)

Первая группа уравнений (уравнения Петерсона–Кодацци и Гаусса (5)–(7)) связывает коэффициенты первой и второй квадратичных форм (3), (4). Вторая группа уравнений (8)–(12) (деривационные формулы) задает по уже известным коэффициентам радиус-вектор и вектор единичной нормали поверхности , то есть окончательно определяет поверхность в пространстве. Используемые в (5)–(12) символы Кристоффеля зависят от коэффициентов метрики (3) и их производных [2].

Уравнения (5)–(12) представляют собой современный фундаментальный аппарат исследования поверхностей в . Более того, эти уравнения представляют полную систему соотношений, позволяющих читателю самостоятельно изучать в пространстве поверхности с наперед заданными метриками типа (3). В общем случае система (5)–(12) неразрешенная. Но это обстоятельство ни в коей мере не сужает класс содержательных случаев, к рассмотрению которых мы переходим.