Теорема Д. Гильберта и последующие современные результаты

Как уже отмечалось, псевдосферические поверхности реализуют на своих регулярных частях геометрию, совпадающую с геометрией лишь отдельных частей плоскости Лобачевского. Кроме того, как видно из рисунков, непременным атрибутом этих поверхностей являются особенности – нерегулярные ребра или острия. Оказывается, наличие особенностей у поверхностей постоянной отрицательной кривизны имеет глубинные корни, относящиеся к основаниям математики. В этом контексте выдающийся математик Д. Гильберт в 1901 г. в работе “О поверхностях постоянной гауссовой кривизны” исследовал вопрос о возможности реализации в евклидовом пространстве всей (полной) плоскости Лобачевского. Гильберт получил следующий фундаментальный результат: в пространстве не существует полной и регулярной поверхности, внутренняя геометрия которой представляла бы геометрию полной плоскости Лобачевского.

То есть плоскость Лобачевского не реализуется в целом регулярным образом в трехмерном евклидовом пространстве. Этот факт в известном смысле говорит о более богатой природе геометрии Лобачевского по отношению к геометрии Евклида, в связи с чем возникла проблематика, изучающая возможность реализации геометрии Лобачевского в многомерных евклидовых пространствах. Имеющиеся результаты по этой проблеме были получены сравнительно недавно. В 1955 г. Д. Блануша и 1960 г. Э.Р. Розендорн доказали возможность регулярной реализации плоскости Лобачевского соответственно в пространствах и . Вопрос же о регулярной реализации плоскости в четырехмерном евклидовом пространстве до сих пор остается открытым и представляет одну из актуальных нерешенных проблем современной геометрии.

В 1975 г. Н.В. Ефимов усилил результат Гильберта, доказав невозможность в и полуплоскости Лобачевского. Этот результат является логическим звеном системных исследований по геометрии “в целом”, проводимых начиная с конца 1950-х – начала 1960-х годов в научной геометрической школе Ефимова–Позняка в Московском университете по проблеме изометрических погружений (реализации) двумерных метрик отрицательной кривизны в . Среди выдающихся геометров этой научной школы следует отметить Э.Р. Розендорна, И.Х. Сабитова, Д.Д. Соколова, Е.В. Шикина, С.Б. Кадомцева и их учеников.

Одним из центральных общих вопросов в исследованиях научной школы стал вопрос о нахождении той грани, которая определяет границы реализации (“присутствия”) в . неевклидовой гиперболической геометрии. Или, более предметно, вопрос о том, какие части плоскости Лобачевского могут быть регулярно погружены в . Среди полученных в этой области результатов, адресуя читателя к списку литературы, укажем на возможность изометрического погружения в таких частей плоскости , как бесконечная полоса, специальные типы многоугольников и др.

Существенно, что при проведении отмеченных исследований был предложен новый вид основных уравнений теории поверхностей – уравнений в римановых инвариантах (уравнений Рождественского–Позняка):

где коэффициенты типа являются некоторыми функциями символов Кристоффеля, а римановы инварианты и следующим образом связаны с коэффициентами первой и второй квадратичных форм поверхности:

где

В целом отметим, что система (19) придает основным соотношениям теории поверхностей более совершенную интерпретацию, дающую возможность применения к их исследованию методов современной теории дифференциальных уравнений, таких, например, как метод малого параметра.