Геометрическая интерпретация нелинейных уравнений современной математической физики

Удивительное единство многих различных по своей природе явлений и связанных с ними математических моделей может быть объяснено в значительном числе случаев качественной аналогией описывающих их дифференциальных уравнений, проявляющейся, в частности, в их геометрических интерпретациях. Обнаруженная впервые в конце прошлого столетия взаимосвязь уравнения синус-Гордона и чебышёвских сетей – специальных геометрических объектов на псевдосферических поверхностях (и в общем на плоскости Лобачевского) – получила в конце уже ХХ в. существенное обобщение, связанное с установлением известной общей эквивалентности широких классов нелинейных уравнений современной математической физики и отвечающих им специальных типов координатных сетей на псевдосферических поверхностях (или соответственно на плоскости ). В целом сущность всякого геометрического подхода к исследованию определенной задачи состоит в сопоставлении исследуемой задаче некоторого геометрического образа (объекта), анализ которого может быть проведен в рамках хорошо развитой геометрической методологии. И в нашем случае полнота геометрии Лобачевского представляется весьма достаточной для унификации широкого круга задач математической физики, в которых нелинейные уравнения играют ключевую роль.

Приведенные выше рассуждения мы проиллюстрируем на примере дифференциальных уравнений, формирующих так называемый класс Лобачевского (или -класс). Эти уравнения, среди которых известные уравнения синус-Гордона, Кортевега–де Фриза, Бюргерса, Лиувилля и др., называются -уравнениями.

Рассмотрим двумерную дифференциальную квадратичную форму типа (3) с коэффициентами , , , зависящими известным образом от некоторой функции и ее производных. Обратимся к формуле Гаусса (7) для вычисления кривизны формы (3) с рассматриваемыми коэффициентами. Правая часть соотношения (7) представляет собой известное выражение для кривизны через и их производные по и до второго порядка включительно. Если считать кривизну априори заданной функцией (в интересующем нас случае ), то, очевидно, соотношение типа (7) можно рассматривать как дифференциальное уравнение для функции .

Таким образом, можно говорить, что псевдосферическая метрика (3) порождает некоторое дифференциальное уравнение

(21)

Верно и обратное: в соответствии с описанной выше методикой всякое регулярное решение уравнения (21) определяет собой псевдосферическую метрику.

Приведем примеры псевдосферических метрик и соответственно ассоциированных с ними (порождаемых ими) известных нелинейных уравнений:

1) метрика

,

уравнение синус-Гордона

;

2) метрика

,

модифицированное уравнение Кортевега–де Фриза

3) метрика

уравнение Лиувилля

В общем принято говорить, что дифференциальное уравнение принадлежит -классу (или является -уравнением), если оно порождается указанным выше способом псевдосферической метрикой. Понятие -класса является важной категорией современной геометрической теории дифференциальных уравнений; оно, в частности, подразумевает локальную эквивалентность всех регулярных решений уравнений данного класса.

Более того, свойство принадлежности уравнений -классу означает единую метрическую природу этих уравнений в рамках геометрии Лобачевского, которая во многом универсально объясняет наличие таких фундаментальных свойств у многих нелинейных уравнений, как преобразование Бэклунда, наличие бесконечного числа законов сохранения, интегрируемость методом обратной задачи рассеяния, существование солитонных решений, связь с трансцендентными функциями Пенлеве и др.

Выводы

В заключение хотелось бы еще раз подчеркнуть не обычайную математическую важность псевдосферических поверхностей как объектов неевклидовой гиперболической геометрии и широчайший спектр приложений ассоциированных с ними понятий в современном естествознании. В этой связи автор хотел бы поделиться своим впечатлением, составленным на основе изучения мировой научной библиографии по данному вопросу, доказывающим исторически необходимую роль обсуждаемых в данной статье понятий: исследования по обсуждаемому спектру вопросов ведутся сейчас во многих странах – Россия, США, Китай, Бразилия, ЮАР, Австралия и др., при этом любопытно, что некоторые независимые исследователи ведут самостоятельную работу, в некоторой степени повторяющую уже известные подходы, изложенные в нашем кратком обзоре.

Литература

1. Каган В.Ф. Основы теории поверхностей. М.; Л.: ГИТТЛ, 1947–1948. Т. 1. 512 с.; Т. 2. 407 с.

2. Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия: Первое знакомство. М.: Изд-во МГУ, 1990. 384 с.

3. Позняк Э.Г., Попов А.Г. Уравнение синус-Гордона: Геометрия и физика. М.: Знание, 1991. 45 с.

4. Розендорн Э.Р. Поверхности отрицательной кривизны // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 48. М.: ВИНИТИ, 1989. С. 98–195.

5. Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Попов А.Г. Геометрия Лобачевского: Открытие и путь в современность // Природа. 1993. № 7. С. 19–27.

6. Позняк Э.Г. Изометрические погружения двумерных римановых метрик в евклидовы пространства // Успехи мат. наук. 1973. Т. 28, вып. 41(172). С. 47–76.

7. Позняк Э.Г., Попов А.Г. Геометрия Лобачевского и уравнения математической физики // Докл. АН. 1993. Т. 332, № 4. С. 418–421.