Классические псевдосферические поверхности

В 1838 г. Ф. Миндинг, опираясь на уравнение (2), исчерпывающим образом провел исследование поверхностей вращения постоянной кривизны. Метод Миндинга сводился к отысканию той формы меридиана (кривой, вращаемой вокруг оси), которая обеспечивала бы постоянную кривизну поверхности. Уравнение (3) в указанном случае переходит в обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка

(13) и при постоянном заданном значении K поддается стандартной процедуре интегрирования, приводящей к конкретному параметрическому виду меридиана как обратной функции :

.

Полученный результат позволил Миндингу при выделить три основных типа псевдосферических поверхностей вращения (см. Приложение №2(а, б, в)).

Особую роль среди приведенных поверхностей играет псевдосфера, ее уравнения могут быть представлены в виде

Углубленный анализ псевдосферы был проведен Э. Бельтрами в 1868 г. Он установил, что геометрия псевдосферы совпадает с геометрией определенной области на плоскости Лобачевского – орикруга. Если точкам и прямым в этой области плоскости Лобачевского сопоставить точки и кратчайшие линии (геодезические) на псевдосфере, а движению на плоскости Лобачевского сопоставить перемещение фигуры по псевдосфере с изгибанием (деформацией, сохраняющей длины), то всякой теореме (утверждению) в геометрии Лобачевского будет отвечать соответствующий факт, имеющий место на псевдосфере.

Таким образом, благодаря появлению первых псевдосферических поверхностей, и в первую очередь псевдосфере, геометрия Лобачевского получила наглядный, реальный смысл: длины, углы, площади смогли теперь пониматься в смысле их естественного привычного измерения (например, на псевдосфере).

Результаты Миндинга и исследования Бельтрами положили начало развитию нового раздела дифференциальной геометрии – исследованию и построению поверхностей отрицательной кривизны, и прежде всего псевдосферических. Последующим классическим примером стала винтовая псевдосферическая поверхность, построенная Дини (см. Приложени №2, г).

Дальнейшие исследования по обозначенной тематике привели к открытию новых фундаментальных понятий не только в геометрии, но и в современном нелинейном анализе, таких, как преобразование Бэклунда, солитоны, сетевая интерпретация нелинейных дифференциальных уравнений и др.