![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Метод вариации постоянной
Данный метод аналогичен предыдущему подходу. Сначала необходимо найти общее решение однородного уравнения:. Общее решение однородного уравнения содержит постоянную интегрирования C. Далее мы заменяем константу C на некоторую (пока еще неизвестную) функцию C(x). Подставляя это решение в неоднородное дифференциальное уравнение, можно определить функцию C(x). Разделяя переменные, имеем:, Т.е.. Общее решение заданного уравнения ищем в виде. Подставляя y и в данное уравнения, получим: Отсюда;; => общее решение ур-ия Уравнение Бернулли является одним из наиболее известных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Оно записывается в виде, где и − непрерывные функции. Если m=0, то уравнение Бернулли становится линейным дифференциальным уравнением. В случае когда m=1, уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными. Новое дифференциальное уравнение для функции z(x) имеет вид
и может быть решено способами, описанными выше.
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида, где − постоянные коэффициенты. Для каждого такого дифференциального уравнения можно записать так называемое характеристическое уравнение:. Общее решение однородного дифференциального уравнения зависит от корней характеристического уравнения, которое в данном случае будет являться квадратным уравнением. Возможны следующие случаи: 1. Дискриминант характеристического квадратного уравнения положителен:. Тогда корни характеристического уравнения и действительны и различны. В этом случае общее решение описывается функцией, где C1 и C2 − произвольные действительные числа. 2. Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю: D=0. Тогда корни действительны и равны. В этом случае говорят, что существует один корень k1 второго порядка. Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид: 3. Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен: D< 0. Такое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни. Общее решение записывается в виде
Рассмотренные три случая удобно представить в виде таблицы:
|