Принцип суперпозиции

Если правая часть неоднородного уравнения представляет собой сумму нескольких функций вида

,

то частное решение дифференциального уравнения также будет являться суммой частных решений, построенных отдельно для каждого слагаемого в правой части.

56. Решение нормальных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами матричным способом. (Решение систем дифференциальных уравнений –практика).

Матричная запись системы обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ) с постоянными коэффициентами

Линейную однородную СОДУ с постоянными коэффициентами где -- искомые функции независимой переменной x, коэффициенты -- заданные действительные числа представим в матричной записи:
1. матрица искомых функций;

2. матрица производных решений

3. матрица коэффициентов СОДУ

Теперь на основе правила умножения матриц данную СОДУ можно записать в виде матричного уравнения.

Общий метод решения СОДУ с постоянными коэффициентами Пусть имеется матрица некоторых чисел
Решение СОДУ отыскивается в следующем виде:.

В матричной форме:

Отсюда получаем:
Теперь матричному уравнению данной СОДУ можно придать вид:

Полученное уравнение можно представить так:

.

Последнее равенство показывает, что вектор α с помощью матрицы A преобразуется в параллельный ему вектор. Это значит, что вектор α является собственным вектором матрицы A, соответствующий собственному значению k. Число k можно определить из уравнения

Это уравнение называется характеристическим. Пусть все корни характеристического уравнения различны. Для каждого значения из системы может быть определена матрица значений. Одно из значений в этой матрице выбирают произвольно. Окончательно, решение данной системы в матричной форме записывается следующим образом: - где -- произвольные постоянные.

57.Основные понятия теории вероятностей: испытания и события, виды случайных событий.

Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие события. Под событием понимают любой факт, который может произойти в результате опыта или испытания. Под опытом, или испытанием, понимается осуществление определённого комплекса условий.

Можно привести бесчисленное множество подобных примеров. События обозначаются заглавными буквами латинского алфавита A, B, CA, B, C и т.д.

Различают события совместные и несовместные. События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого. В противном случае события называются несовместными. Например, подбрасываются две игральные кости. Событие AA — выпадение трех очков на первой игральной кости, событие BB — выпадание трех очков на второй кости. AA и BB — совместные события.

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в условиях данного опыта.

Событие называется невозможным, если оно не может произойти в условиях данного опыта. Например, событие, заключающееся в том, что из партии стандартных деталей будет взята стандартная деталь, является достоверным, а нестандартная — невозможным.

Событие называется возможным, или случайным, если в результате опыта оно может появиться, но может и не появиться. Примером случайного события может служить выявление дефектов изделия при контроле партии готовой продукции.

События называются равновозможными, если по условиям испытания ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другие. Например, пусть магазину поставляют электролампочки несколько заводов-изготовителей. События, состоящие в покупке лампочки любого из этих заводов, равновозможны.

Важным понятием является полная группа событий. Несколько событий в данном опыте образуют полную группу, если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них. Например, в урне находится десять шаров, из них шесть шаров красных, четыре белых, причем пять шаров имеют номера. AA — появление красного шара при одном извлечении, BB

— появление белого шара, CC — появление шара с номером. События A, B, CA, B, C образуют полную группу совместных событий.

Введем понятие противоположного, или дополнительного, события. Под противоположным событием A понимается событие, которое обязательно должно произойти, если не наступило некоторое событие A. Противоположные события несовместны и единственно возможны. Они образуют полную группу событий.