![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Формула Пуассона⇐ ПредыдущаяСтр 41 из 41
При большом числе испытаний n и малой вероятности р формулой Бернулли пользоваться неудобно, например, Эта формула дает удовлетворительное приближение для
62.Случайные величины: основные понятия, дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины. Случайной называется величина, которая в результате испытания может принять то или иное возможное значение, неизвестное заранее, но обязательно одно. Если множество возможных значений случайной величины конечно или образуют бесконечную числовую последовательность, то такая случайная величина называется дискретной (примеры 3.1, 3.3, 3.4). Случайная величина, множество значений которой заполняет сплошь некоторый числовой промежуток, называется непрерывной (пример 3.2). Заметим, что дискретные и непрерывные величины не исчерпывают все типы случайных величин. Очевидно, что для полной характеристики дискретной случайной величины мало знать ее значения. Необходимо им поставить в соответствие вероятности.
Такая таблица называется рядом распределения. Допустим, что число возможных значений случайной величины конечно: х 1, х 2, …, хn. При одном испытании случайная величина принимает одно и только одно постоянное значение. Поэтому события Х = хi (i = 1, 2, …, n) образуют полную группу попарно независимых событий. Следовательно, р 1 + р 2+ … + рn = 1. Законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие между отдельными возможными значениями и их вероятностями. Закон распределения дискретной случайной величины проще представить в виде таблицы распределения, в первой строке которой указывают возможные значения случайной величины, а во второй строке — соответствующие вероятности этих значений. Здесь х1, х2, x3, х4,..., хn — значения, которые может принять случайная дискретная величина X и соответствующие вероятности p1=Р(Х=х1), p2=Р(Х=х2), p3=Р(Х=х3), p4=Р(Х=х4).
63. Числовые характеристики дискретных случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратичное отклонение, мода. Функция распределения содержит полную информацию о случайной величине. На практике функцию распределения не всегда можно установить; иногда такого исчерпывающего знания и не требуется. Частичную информацию о случайной величине дают числовые характеристики, которые в зависимости от рода информации делятся на следующие группы. 1.Характеристики положения случайной величины на числовой оси (мода Мo, медиана Мe, математическое ожидание М(Х)). 2.Характеристики разброса случайной величины около среднего значения (дисперсия D(X), среднее квадратическое отклонение σ (х)). 3.Характеристики формы кривой y = φ (x) (асимметрия As, эксцесс Ех). Рассмотрим подробнее каждую из указанных характеристик. Математическое ожидание случайной величины Х указывает некоторое среднее значение, около которого группируются все возможные значения Х. Для дискретной случайной величины, которая может принимать лишь конечное число возможных значений, математическим ожиданием называют сумму произведений всех возможных значений случайной величины на вероятность этих значений: Для непрерывной случайной величины Х, имеющей заданную плотность распределения φ (x) математическим ожиданием называется следующий интеграл:
Здесь предполагается, что несобственный интеграл
Свойства математического ожидания: 1. М(С) = C, где С = const; 2. M(C ∙ Х) = С ∙ М(Х); 3. М(Х ± Y) = М(Х) ± М(Y), где X и Y – любые случайные величины; 4. М(Х ∙ Y)= М(Х)∙ М(Y), где X и Y – независимые случайные величины. Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина.
Медианой непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение Ме, для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше Ме, т.е. Р(Х < Ме) = Р(X > Ме) Из определения медианы следует, что Р(Х < Ме) = 0, 5, т.е. F (Ме) = 0, 5. Геометрически медиану можно истолковывать как абсциссу, в которой ордината φ (x) делит пополам площадь, ограниченную кривой распределения (рис. 2.5). В случае симметричного распределения медиана совпадает с модой и математическим ожиданием. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания D(X) = M(X – М(Х))2. Дисперсию случайной величины Х удобно вычислять по формуле: а) для дискретной величины б) для непрерывной случайной величины Дисперсия обладает следующими свойствами: 1. D(C) = 0, где С = const; 2. D(C × X) = C2∙ D(X); 3. D (X ± Y) = D (X) + D (Y), если X и Y независимые случайные величины. Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется арифметический корень из дисперсии, т.е. σ (X) = Заметим, что размерность σ (х) совпадает с размерностью самой случайной величины Х, поэтому среднее квадратическое отклонение более удобно для характеристики рассеяния. Обобщением основных числовых характеристик случайных величин является понятие моментов случайной величины.
Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины (определение, свойства, график), плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины (определение, свойства, график). Непрерывную случайную величину нельзя охарактеризовать перечнем всех возможных ее значений и их вероятностей. Естественно, встает вопрос о том, нельзя ли охарактеризовать случайную величину иным способом, одинаково годным как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин. Функцией распределения случайной величины Х называют функцию F(x), определяющую для каждого значения х, вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньше х, т.е. F(x) = P (X < x). Иногда функцию F(x) называют интегральной функцией распределения. Функция распределения обладает следующими свойствами: 1.Значение функции распределения принадлежит отрезку [0, 1]: 0 ≤ F(x) ≤ 1. 2.Функции распределения есть неубывающая функция. 3.Вероятность того, что случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале (а, b), равна приращению функции распределения на этом интервале: Р(а < X < b) = F(b) – F(а). (2.1) 4. Если все возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (а, b), то F(x) = 0 при х ≤ а; F(x) = 1 при х ≥ b. 4.Справедливы следующие предельные отношения: 5.Для дискретной случайной величины Х, которая может принимать значения х 1, х 2, …, хn, функция распределения имеет вид Поясним эту формулу исходя из определения функции F(x). Предположим, что аргумент х принял какое-то определенное, но такое, что выполняется неравенство xi < x ≤ xi +1. Тогда левее числа х на числовой оси окажутся только те значения случайной величины, которые имеют индекс 1, 2, 3, …, i. Поэтому неравенство Х < x выполняется, если величина Х примет значения хк, где k = 1, 2, …, i. Таким образом, событие Х < x наступит, если наступит любое, неважно какое, из событий Х = х 1, Х = х 2, Х = х 3, …, Х = хi. Так как эти события несовместны, то по теореме сложения вероятностей имеем Функцию φ (x) называют плотностью вероятности (для данного распределения) или дифференциальной функцией. Так как плотность вероятности φ (x) является производной неубывающей функции F(x), то она неотрицательна: φ (x)≥ 0. В отличие от функции распределения, плотность вероятности может принимать сколь угодно большие значения. Так как F(x) является первообразной для φ (x), то на основании формулы Ньютона-Лейбница имеем Полагая а =–∞ и b =+∞, получаем достоверное событие Х принадлежащее (–∞, +∞), вероятность которого равна единице. Следовательно,
65.Нормальное распределение. Кривая Гаусса. Влияние параметров µ и σ на форму кривой Гаусса. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал Правило «трех сигм». Нормальный закон распределения (часто называемый законом Гаусса) играет исключительно важную роль в теории вероятностей и занимает среди других законов распределения особое положение. Это – наиболее часто встречающийся на практике закон распределения. Главная особенность, выделяющая нормальный закон среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях. Можно доказать, что сумма достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых) случайных величин, подчиненных каким угодно законам распределения (при соблюдении некоторых весьма нежестких ограничений), приближенно подчиняется нормальному закону, и это выполняется тем точнее, чем большее количество случайных величин суммируется. Большинство встречающихся на практике случайных величин, таких, например, как ошибки измерений, ошибки стрельбы и т.д., могут быть представлены как суммы весьма большого числа сравнительно малых слагаемых – элементарных ошибок, каждая из которых вызвана действием отдельной причины, не зависящей от остальных. Каким бы законам распределения ни были подчинены отдельные элементарные ошибки, особенности этих распределений в сумме большого числа слагаемых нивелируются, и сумма оказывается подчиненной закону, близкому к нормальному. Основное ограничение, налагаемое на суммируемые ошибки, состоит в том, чтобы они все равномерно играли в общей сумме относительно малую роль. Если это условие не выполняется и, например, одна из случайных ошибок окажется по своему влиянию на сумму резко превалирующей над всеми другими, то закон распределения этой превалирующей ошибки наложит свое влияние на сумму и определит в основных чертах её закон распределения. Теоремы, устанавливающие нормальный закон как предельный для суммы независимых равномерно малых случайных слагаемых, будут подробнее рассмотрены в главе 13. Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности вида:
Выясним смысл численных параметров Применяя замену переменной имеем: Нетрудно убедиться, что первый из двух интервалов в формуле (6.1.2) равен нулю; второй представляет собой известный интеграл Эйлера-Пуассона: Следовательно, Вычислим дисперсию величины Применив снова замену переменной имеем: Интегрируя по частям, получим Первое слагаемое в фигурных скобках равно нулю (так как Следовательно, параметр Выясним смысл параметров Размерность центра рассеивания – та же, что размерность случайной величины Параметр Размерность параметра В некоторых курсах теории вероятностей в качестве характеристики рассеивания для нормального закона вместо среднего квадратического отклонения применяется так называемая мера точности. Мерой точности называется величина, обратно пропорциональная среднему квадратическому отклонению Размерность меры точности обратная размерности случайной величины. Термин «мера точности» заимствован из теории ошибок измерений: чем точнее измерение, тем больше мера точности. Пользуясь мерой точности
|