Стохастическое моделирование оптимального соотношения пло­щадей озимых и яровых зерновых культур (одноэтапная модель).

Постановка задачи. Задача определения оптимального соотно­шения площадей озимых и яровых зерновых культур в агрономи­ческой науке является классической. Это объясняется тем, что озимые зерновые культуры в большинстве районов являются бо-

лее урожайными, чем яровые. Однако вероятность того, что ози­мые погибнут или дадут небольшой урожай вследствие замороз­ков или вымокания посевов весной, очень велика. Заменять их менее урожайными яровыми культурами часто невыгодно, так как для ряда культур (прежде всего пропашных) яровые являются менее предпочтительным предшественником и реализуются на рынке по более низким ценам, что дает хозяйству меньший до­ход.

В связи с этим определение оптимального соотношения пло­щадей озимых и яровых зерновых культур — важная задача, в ходе решения которой с учетом стохастических характеристик урожайности культур необходимо получить максимальную вы­году.

Математическая формулировка задачи. Примем, что в данной задаче вероятностный характер имеют коэффициенты целевой функции — вектора с линейной формы и вектора Ь — свободных членов ограничений.

Будем считать матрицу технико-экономических коэффициен­тов а детерминированной.

Математическую формулировку данной одноэтапной задачи рассмотрим на примере ее постановки, данной в Государствен­ном научно-исследовательском институте земельных ресурсов Т. Я. Перингером и И.Ф.Полуниным (Стохастическое модели­рование размещения посевов озимых и яровых культур. Научный отчет «Математические методы в организации использования зе­мель». - М.: ГИЗР, 1977. - С. 53-63).

При этом примем третий случай постановки: для задач с веро­ятностными ограничениями.

Определим систему переменных. Для этого примем, что х_у — площадь озимой ржи, га; х₂ — площадь овса, га.

В задаче необходимо определить оптимальное соотношение площадей посева двух культур: озимой ржи и овса.

На неизвестные наложим следующие ограничения.

1. Баланс площадей посевов:

Р(х, + х₂=6⁽¹⁾)> Р₀⁽¹⁾.

2. Необходимые трудовые затраты:

Р(а\²⁾х₁+а^⁾х₂< Ь^{2))> Р^⁾.

3. Объем полевых механизированных работ:

Р(а[\₊а^х₂< Ь^)> Р^.

4. Потребность в денежно-материальных средствах:

Р(а[%₁₊а^х₂< Ь^)> Р{⁴\

5. Баланс минеральных удобрений:

Р(а1⁵⁾х₁+а⁽₂⁵⁾х₂< Ь⁽-⁵⁾)> Р^\

6. Неотрицательность переменных:

х₁> 0, х₂> 0, 0< Р₀^(/)< 1.

Данные условия читаются следующим образом: вероятность того, что будет выполнено К-е ограничение, должна быть не

меньше Р₀^(/)(/=1, 2, 3, 4, 5).

Чтобы решить эту задачу при заданных вероятностных огра­ничениях, необходимо определить составляющие вектора Ъ.

Известно, что по закону распределения компонент вектора Ь

и вероятности Р^ можно найти составляющие вектора огра­ничений и от вероятностной системы ограничений перейти к ее детерминированному аналогу.

Поскольку составляющие случайного вектора ограничений Ъ независимы и каждая из них представляет собой сумму элемен­тарных независимых слагаемых, можно считать, что компоненты вектора Ь распределены по нормальному закону, характеризуе­мому плотностью вероятности вида

где а — среднеквадратическое отклонение величины Ь\т — математическое ожида­ние величины Ь.

Графически это может быть показано так (рис. 26). Допустим, стохастическая задача решена. Тогда после подста-

п новки в левую часть неравенств вида ^а_; ух_у< ^ оптимальных

7 = 1

значений х получим некоторую величину Ь. С вероятностью Р₀ можно утверждать, что Ь < Ь, так как только в этом случае требуе-420

мое условие выполняется. Причем точка_ Ъ должна быть

правее точки Ь.

Чтобы по плотности распре­деления подсчитать вероят­ность попадания точки Ь в ин­тервал \Ь, с°, надо взять интег­рал от плотности в соответству­ющих границах:

Р₀=]ДЬ)С1Ь. ь

В полученном интегральным уравнении есть только одно не­известное Ь — такое значение свободного члена, которое позво­ляет перейти к детерминированному ограничению. Для опреде­ления Ь подставим в вышеприведенное уравнение вместо ЛЬ) ее выражение:

(Ь-т)¹

оо | —

Не останавливаясь на выводе, приведем формулу для вычис­ления значения Ь, полученную Т. Я. Перингером и И. Ф. Полу­ниным:

Ь=т+ка,

где т — математическое ожидание (среднее арифметическое значение) величины Ь; а — квадратическое отклонение величины Ь; к— коэффициент, учитывающий изменение параметра Ь в зависимости от различной вероятности событий (табл. 137).

Зная значения ь, мы переводим стохастическую задачу к

обыкновенному детерминированному виду.

Обоснуем значение целевой функции. В связи с тем что в данной задаче важно получить гарантированный суммарный урожай зерновых (на продажу, подстилку и корм скоту), в ка­честве критерия оптимальности примем минимум набора урожая.

Исходя из рекомендуемых выше критериев оптимальности, применяемых в задачах стохастического программирования, проанализируем и выберем наиболее подходящий из них.

Пусть в качестве целевой функции выбрано математическое ожидание величины линейной формы. Тогда функцию цели ма­тематически запишем в виде

2_{=М

г „ ^

7^Л7

и=1

► ГП1П,

где М— знак математического ожидания; су — случайный коэффициент, учитываю­щий недобор урожая с 1 га посевов (/= 1, 2,..., л).

Пользуясь правилом вынесения неслучайной величины за знак математического ожидания, а также тем, что математичес­кое ожидание линейной функции равно той же линейной функ­ции от математических ожиданий аргументов, функцию перепи­шем как

2_Х=М

п \ п п п

.7=1 ) 7 = 1 7 = 1 7 = 1

Здесь С] — математическое ожидание (среднее арифметичес­кое значение) коэффициентов линейной формы, то есть матема-

Г" Я³Я³Я-⁵.° „°Я⁵ Я-⁵.° Я-¹.Р.⁰ „° Р. °^° -⁰«°«° ЯЯ

|—ООООООООООООООООООО —

I I I I М I I I I и> р— оооооооо о о о о о о о о о- — (_^>

о~—^о~-о." с/1^" и)" ю^—" о о о" -—1о" и> -^4/1 --лХо'^-о