Table KK.101 - Type of analysis

Type of analysis	Comment and typical application
General and incremental step-by-step method	These are general methods and are applicable to all structures. Particularly useful for verification at intermediate stages of construction in structures where properties vary along the length (e.g. cantilever construction).
Methods based on the theorems of linear viscoelasticity	Applicable to homogeneous structures with rigid restraints.
The ageing coefficient method	This method will be useful when only the long –term distribution of forces and stresses are required. Applicable to bridges with composite sections (precast beams and in-situ concrete slabs).
Simplified ageing coefficient method	Applicable to structures that undergo changes in support conditions (e.g. span-to-span or free cantilever construction).
Наступні припущення стосуються всіх методів, описаних вище: - повзучість і усадку вважають незалежними одна від одної; - для всіх типів бетонного перерізу середня повзучість і властивості усадки прийнято без врахування будь-яких незначних відмінностей в різних зонах конструкції; - принцип суперпозиції дійсний для розрахунку повних деформацій в часі. Коротку деталізацію певних методів наведено в наступних розділах.		The following assumptions are made in all the methods noted above: - greep and shrinkage are considered independent of each other. - for each type of concrete in a section, average creep and shrinkage properties are adopted ignoring any minor differences at different locations. - the principle of superposition is valid for the assessment of total deformation due to actions applied at various ages. Brief outline details of some of the methods are given in the following sections.
KK.3 Загальний метод (101) Прийняті такі припущення: a) основне рівняння для деформації бетону з урахуванням часу:		KK.3 General method (101) The following assumptions are made: a) The fundamental equation for time dependent concrete strain is:
(KK.101)
В цьому рівнянні перший доданок є деформації від напружень в момент часу . Другий доданок є повзучість від цих напружень. Третій доданок є сумою миттєвих деформацій і деформацій повзучості від напружень у момент часу . Четвертий доданок є усадковими деформаціями; b) Вважається, що арматура поводиться лінійно під миттєвими навантаженнями. Якщо напруження в попередньо напруженій арматурі більше, ніж , то необхідно враховувати релаксацію і зміну деформацій; с) арматура має надійне зчеплення з бетоном;   d) в усіх лінійних елементах перерізи залишаются плоскими після деформації; e) зберігаються умови рівноваги і спільності деформцій.   (102) Повзучість бетону в кожному перерізі залежить від передісторії його напруження. При цьому передбачається поетапний процес. Розрахунок виконується для послідовних інтервалів часу, що забезпечують додержання умов рівноваги і спільності; при цьому використовуються базові властивості матеріалу, що відносяться до відповідного моменту часу. Деформація розраховується для послідовних інтервалів часу з врахуванням зміни напруження бетону в попередній інтервал часу.		In this equation, the first term represents the instantaneous deformations due to a stress applied at . The second term represents the creep due to this stress. The third term represents the sum of the instantaneous and creep deformations due to the variation in stresses occurring at instant . The fourth term represents the shrinkage deformation.   b) Reinforcing steel is assumed to behave linearly under instantaneous loads. When the stress in prestressing steel is greater than relaxation and a variable state of deformation should be taken into account. c) Perfect bond exists between concrete and the bonded steel. d) In the case of linear elements, sections are assumed to be plane before and after deformation. e) Equilibrium and compatibility are maintained.   (102) Concrete creep at each section depends on its stress history. This is accounted for by a step-by-step process. Structural analysis is carried out at successive time intervals maintaining conditions of equilibrium and compatibility and using the basic properties of materials relevant at the time under consideration. The deformation is computed at successive time intervals using the variation of concrete stress in the previous time interval.
KK.4 Послідовний метод (101) Для моменту часу t, коли прикладене напруження становить , зі всієї передісторії навантаження теоретично виводиться деформація повзучості , потенційна деформація повзучості (тобто деформація повзучості, яка б була досягнута для часу , якби напруження, прикладене у момент часу t, зберігалося постійним) і швидкість повзучості. (102) Оцінку потенційної деформації повзучості у момент часу t можна обчислити, використовуючи принцип суперпозиції (позначення наведено в описі формули (KK.101), а також в додатку B EN 1992-1-1):		KK.4 Incremental method (101) At time t where the applied stress is , the creep strain , the potential creep strain (ie. The creep strain that would be reached at time , if the stress applied at time t were kept constant) and the creep rate are theoretically derived from the whole loading history.   (102) The potential creep strain at time t may be evaluated using the principle of superposition (for notations, see formula (KK.101) and EN 1992-1-1 Annex B):
(KK.102)
(103) Для моменту часу можна обчислити еквівалентний час , такий, що у разі прикладання постійного напруження у момент часу буде досягнуто однакові деформації повзучості і потенційної деформації повзучості. Час обчислюється з рівняння:		(103) At time , it is possible to define an equivalent time such that, under a constant stress applied from time , the same creep strain and the same potential creep strain are obtained; fulfils the equation:
(KK.103)
Отже, швидкість повзучості у момент t можна обчислити, використовуючи криву повзучості відповідну еквівалентному часу:		The creep rate at time t can thus be calculated using the creep curve corresponding to the equivalent time:
(KK.104)
(104) Якщо , як це має місце, зокрема, у разі повзучості при знятті навантаження, час te визначається на даному етапі з урахуванням зміни знака прикладеного напруження:		(104) When , which particularly applies to the case of creep unloading, t e is defined relative to the current phase and accounts for the sign change of the applied stress. It reads:
(KK.105)
(KK.106)
де: останнє максимальне значення деформації повзучості, досягнуте до моменту часу .		where: is the last extreme creep strain reached before time .
KK.5 Застосування теорем лінійної в’язкопружності (101) В конструкціях з жорсткими затисненнями напруження і деформації можна оцінювати методами пластичних розрахунків, припускаючи, що модуль пружності є сталим.   (102) Залежні від часу властивості бетону повністю описуються функцією повзучості і функцією релаксації , де: представляє повне напруження, яке залежить від деформацій, викликаних одиничними напруженнями, тобто реакція деформації у момент часу “ ” є вислідною від постійних прикладених одиничних напружень у момент часу“ ”. представляє результативну реакцію напруження у момент часу “ ”, залежну від постійних прикладених одиничних напружень, викликаних деформаціями в момент часу “ ”.   (103) При безпосередніх впливах навантажень пружні напруження не змінюються під дією повзучості. Деформації у момент часу t можуть бути обчислені шляхом інтегрування приросту пружних деформацій, помножених на коефіцієнт повзучості :		KK.5 Application of theorems of linear viscoelasticity   (101) In structures with rigid restraints, stresses and deformations may initially be evaluated by means of an elastic analysis of the structure in which the elastic modulus is assumed to be constant.     (102) Time dependent properties of concrete are fully characterised by the creep function and the relaxation function , where: represents the total stress dependent strain per unit stress, i.e. the strain response at time “ ” resulting from a sustained and constant imposed unit stress applied at time “ ”.     represents the stress response at time “ ” resulting from a sustained and constant imposed unit stress-dependent strain applied at time “ ”.   (103) Under direct actions (imposed loads) the elastic stresses are not modified by creep. The deformations may be evaluated at time “ ” by integration of elastic strain increments factored by the creep factor
(КК.107)
(KK.108)
(104) При непрямих впливах (деформації, що накладаються) пружні деформації не змінюються під дією повзучості. Напруження у момент часу “ ”можуть бути отримані шляхом інтегрування приросту пружних деформацій, помножених на коефіцієнт релаксації		(104) Under indirect actions (imposed deformations) the elastic deformations are not modified by creep. The stresses may be evaluated at time “ ” by integration of the elastic stress increments factored by the relaxation factor
(KK.109)
(KK.110)
(105) В конструкціях, що зазнають дії постійних навантажень, для яких початкова статична схема (101) перетворюється в остаточну схему (102) шляхом введення додаткового обмеження у момент часу (де - вік конструкції на момент прикладання навантаження), розподіл навантажень при поступово змінюється і наближається до розподілу, що відповідає прикладанню навантаження в остаточній статичній схемі:		(105) In a structure subjected to imposed constant loads, whose initial static scheme (101) is modified into a final scheme (102) by the introduction of additional restraint at time being the structure age at loading), the stress distribution evolves for and approaches that corresponding to the load application in the final static scheme
(KK.111)
де: розподіл напружень для в конструкції із зміненими обмеженнями; розподіл пружних напружень в початковій статичній схемі. поправка, вживана до отриманого за пружною моделлю розв’язку для забезпечення відповідності пружному розв’язку, пов'язаному з прикладенням навантаження в остаточній статичній схемі; - функція перерозподілу:		where: is the stress distribution for in the structure with modified restraints. is the elastic stress distribution in the initial static scheme. is the correction to be applied to the elastic solution to comply with the elastic solution related to the load application in the final static scheme.   is the redistribution function
(KK.112)
тут ; і		with and
(KK.113)
(106) Якщо перехід від початкової до остаточної статичної схеми виконується шляхом декількох змін різних обмежень, причому ці зміни проводяться в різні моменти часу , та викликана повзучістю зміна напруження під дією прикладення групи додаткових обмежень у момент часу не залежить від попередніх додаткових обмежень, що накладалися в моменти часу , а залежить тільки від врахування обмежень на момент часу, то :		(106) In cases in which the transition from the initial static scheme to the final scheme is reached by means of several different restraint modifications applied at different times , the stress variation induced by creep, by the effect of applying a group of additional restraints at time , is independent of the history of previous additional restraints introduced at times and depends only on the time of application of restraints
(KK.114)
KK.6 Метод коефіцієнта старіння (101) Метод коефіцієнта старіння дозволяє розраховувати зміни напружень, деформацій, зусиль і відповідних переміщень за нескінченний час, викликаних залежними від часу властивостями бетону і попередньо напружуваної арматури, не виконуючи для цього розрахунку, пов'язаного з дискретним часом. Зокрема, на рівні перетину зміни осьової деформації і кривизни, викликані повзучістю, усадкою і релаксацією, можуть бути визначені відносно просто.   (102) Деформація, створювана змінами напружень в бетоні з часом, може розглядатися як деформація, яка виникла б в результаті підвищення напруження, прикладеного і підтримуваного з проміжного віку бетону:		KK.6 Ageing coefficient method (101) The ageing coefficient method enables variations in stress, deformation, forces and movements due to the time-dependent behaviour of the concrete and the prestressing steel at infinite time to be calculated without discrete time related analysis. In particular, on a section level, the changes in axial deformation and curvature due to creep, shrinkage and relaxation may be determined using a relatively simple procedure.   (102) The deformation produced by stress variations with time in the concrete may be taken as that which would result from an increase in stress applied and maintained from an intermediate age.
(KK.118)
де: коефіцієнт старіння. Значення можна визначити для будь-якого заданого моменту часу шляхом покрокового розрахунку; для його можна приймати рівним 0, 80. Релаксація при змінній деформації може розраховуватися для нескінченного часу спрощеним методом, як релаксація при постійній довжині, помножена на знижувальний коефіцієнт 0, 80.		where: is the ageing coefficient. The value of may be determined at any given moment, by means of a step-by-step calculation or may be taken as being equal to 0, 80 for . Relaxation at variable deformation may be evaluated in a simplified manner at infinite time as being the relaxation at constant length, multiplied by a reduction factor of 0, 80.
KK.7 Спрощені формули (101) Для конструкцій, схильних до змін обпирання (конструкції «прогін в прогоні» з урівноваженим монтажем, з переміщеннями опорних вузлів і т. д.), зусилля для часу можуть розраховуватися спрощеним методом. В цих випадках в першому наближенні розподіл внутрішніх зусиль для часу можна приймати таким:		KK.7 Simplified formulae (101) Forces at time may be calculated for those structures that undergo changes in support conditions (span-to-span construction, free cantilever construction, movements at supports, etc.) using a simplified approach. In these cases, as a first approximation, the internal force distribution at may be taken as
(KK.119)
де: внутрішні зусилля на момент закінчення процесу будівництва. внутрішні зусилля, отримані у випадку, якщо конструкція споруджується на опалубці. вік бетону при прикладанні навантаження. вік бетону при зміні схеми обпирання.		where: represents the internal forces at the end of the construction process. represents the internal forces that are obtained if the structure is constructed on centering. is the concrete age on application of the load. is the age of the concrete when the support conditions are changed.

Додаток LL (довідковий) Елементи бетонної оболонки   (101) В даному розділі розглядаються елементи оболонки, в яких звичайно є вісім визначальних внутрішніх зусиль. Ці складові перераховані нижче, а також показані на малюнку LL.1 для елемента одиничних розмірів: - три мембранні складові: ; - три плитні складові: ; - два поперечні зусилля зсуву: .

Annex LL (informative) Concrete shell elements   (101) This section applies to shell elements, in which there are generally eight components of internal forces. The eight components of internal forces are listed below and shown in Figure LL.1 for an element of unit dimensions:   - 3 plate components ; - 3 slab components ; - 2 transverse shear forces .

Рисунок LL.1 - Елемент оболонки