Екінші ретті сызықты жүйенің траекториялары

6.1. Тұ рақ ты нақ ты коэффициентті біртекті сызық ты жү йені қ арастырайық:

(1)

Бұ л жү йенің нө лдік шешімі барлық уақ ытта бар. Осы шешімге сә йкес нү ктесі жү йенің тең бе-тең дік қ алпы немесе тыныштық нү ктесі деп аталынады.

Жү йенің нө лдік емес шешімдерінің фазалық траекторияларының кескіндерін анық тайық. Олар матрицасының меншікті сандарына байланысты.

Айталық, - сандары матрицасының меншікті сандары болсын, яғ ни олар сипаттаушы

тең деуінің тү бірлері болсын.

Тө мендегідей жағ дайларды қ арастырайық.

- нақ ты ә ртү рлі сандар. Жү йенің жалпы шешімі

(3)

тү рінде жазылады. Мұ ндағ ы, жә не меншікті векторлар, - тұ рақ ты сандар.

Жалпы шешімнің , базисындағ ы координаттарын - деп белгілейік:

(4)

Траекториялардың кескінін жә не бағ ытын байқ ау ү шін болатын бірінші квадрантты қ арастырсақ, жеткілікті. Сә йкес тө мендегідей ү ш жағ дайды қ арастырайық:

а) болсын. Бұ л жағ дайда болса, онда тыныштық нү ктесін аламыз. Егер болса, онда осі фазалық траектория, ал болса, онда осі фазалық траектория болады. болғ анда егер , яғ ни фазалық траектория тыныштық нү ктесіне ұ мтылады жә не

Соң ғ ы қ атынас траекторияның осін координаттың бастапқ ы нү ктесінде жанай ө тетінін кө рсетеді.

Егер болса, онда

Бұ л қ атынастан траекторияның осін жанап ө тетінін кө реміз.

Жалпы, траекторияның тең деуін былай жазуғ а болады:

(5)

Ол ү шін (4) қ атынастың біріншісін дә режеге, екіншісін дә режеге кө теріп, тең естірсек, жеткілікті. (5) қ атынастан траекторияның парабола екенін кө реміз.

Бұ л парабола бойымен қ озғ алыс координат жү йесінің басы нү ктесіне қ арай бағ ытталғ ан. Мұ ндай жағ дайда нү ктесі орнық ты «тү йін» деп аталады (1 – суретті қ араң ыз).

б) болсын. Бұ л жағ дайда фазалық траекторияның тү рі алдың ғ ы тү рдей болады, тек қ озғ алыс кері бағ ытта болады. Сондық тан, координат жү йесінің бас нү ктесі орнық сыз «тү йін» деп аталады (2 – суретті қ араң ыз).

в) болсын. Бұ л жағ дайда, егер болса, онда егер , ал болса, онда егер . болса, онда егер . Сондық тан, фазалық траекторияның тү рі гипербола болады да, координат жү йесінің бас нү ктесі «ершік» деп аталады. Ал сол координат жү йесінің осьтері ершіктің «мұ рттары» деп аталады (3, 4 – суреттерді қ араң ыз).

(Егер болса, онда траектория келбеті алдың ғ ыдай болады).

- комплексті тү йіндес тү бірлер. Бұ л жағ дайда жалпы шешім былай жазылады:

(6)

Егер - деп алсақ, онда (6) тең діктен

(7)

тең діктері шығ ады. Тө мендегідей екі жағ дайды қ арастырайық.

а) болса, онда . Осыдан

(8)

қ атынастарын аламыз. Мұ ндағ ы, . (8) қ атынастарды квадраттап қ осатын болсақ, шең берлер жиынын аламыз. Бұ л жағ дайда координат жү йесінің бас нү ктесі «центр» деп аталады. Бұ л шең бер (немесе эллипс) бойымен қ озғ алыс бағ ыты -ның таң басымен анық талады (5 – суретті қ араң ыз).

б) . Бұ л жағ дайда траекторияның тең деуі тө мендегідей:

(9)

Оның графигі спираль болып келеді. Мұ нда егер болса, онда , ал болса, онда егер . Сондық тан, координат жү йесінің бас нү ктесі бірінші жағ дайда орнық сыз «фокус», екінші жағ дайда орнық ты «фокус» деп аталады (6, 7 – суреттерді қ араң ыз).

Ескерту. Меншікті сандардың ө зара тең жә не нө лге тең болатын жағ дайларын қ арастырмадық. Олар туралы [6] оқ у қ ұ ралын қ араң ыз.

1 – сурет 2 – сурет

3 – сурет 4 – сурет

5 – сурет

6 – сурет 7 – сурет