Шешімнің орнықтылығы

2.1. Автономды тең деулердің қ алыпты жү йесінқ арастырайық:

(1)

Мұ ндағ ы векторы кейбір облысында анық талғ ан

жә не ү здіксіз дифференциалданатын функция деп есептелінеді.

Айталық, -нү ктесі (1) жү йенің тең бе-тең дік қ алпы болсын:

(2)

ал функциясы жү йенің бастапқ ы

(3)

шартын қ анағ аттандыратыг шешім болсын.

Анық тама-1. Жү йенің тең бе-тең дік қ алпы Ляпунов

бойынша орнық ты деп аталынады, егер:

1) кез келген саны ү шін тең сіздігін

қ анағ аттандыратын шешім -ның барлық оң мә ндерінде анық талса,

2) кез келген саны ү шін саны табылып,

тең сіздігінен тең сіздігі шық са.

Анық тама-2. Тең бе-тең дік қ алып асимптотикалы орнық ты деп аталынады, егер ол Ляпунов бойынша орнық ты болса жә не қ осымша

шарты орындалса.

Анық тама-3. Тең бе-тең дік қ алып Ляпунов бойынша орнық сыз деп аталынады, егер қ аншалық ты кіші саны табылмасын, тең сіздігінен тең сіздігі шық паса.

2.2. Бұ л анық тамалардың бә ріне геометриялық тү сініктеме беруге болады.

Алдын ала ескерте кететін жағ дай: тең бе-тең дік қ алпы ү шін координат жү йесінің бас нү ктесін алуғ а болады, яғ ни деп алуғ а болады (ол ү шін параллельдік кө шіру жасасақ, жеткілікті).

Бұ л жағ дайда орнық тылық ты қ ысқ аша анық тауғ а болады: тең бе-тең дік қ алпы Ляпунов бойынша орнық ты деп аталынады, егер кез келген саны ү шін кейбір саны табылып, мынандай тең сіздіктер орындалса:

(4)

Ал асимптотикалық орнық ты болу ү шін қ осымша

(5)

шарты орындалуы керек.

Соң ғ ы тең сіздіктерге тө мендегідей геометриялық тү сініктеме беруге болады.

Фазалық кең істігінде центрлері координат жү йесінің басында жатқ ан радиустері сә йкес жә не сандарына тең центрлес сфералар жү ргізейік. Бұ лардың радиустері ә ртү рлі қ атынаста болуы мү мкін. Айқ ын болуы ү шін болсын. Сонда орнық ты дегеніміз – радиусы -ғ а тең сфераның ішінен басталғ ан траектория радиусы -ге тең сфераның ішінен шық пайды дегенді білдіреді. Ал асимптотикалық орнық ты дегеніміз – радиусы сол -ғ а тең сфераның ішінен басталғ ан траектория -ның мә ні ө скен сайын координат жү йесінің бас нү ктесіне шексіз жақ ындайды дегенді білдіреді. Орнық сыздық дегеніміз – қ аншалық ты кіші мә нді саны табылмасын, кіші сфераның ішінен басталғ ан траектория белгілі бір мезеттен бастап ү лкен сфераның сыртына шығ ады дегенді білдіреді.