Біртексіз сызықты жүйелер

3.1. Біртексіз сызық ты тең деулер жү йесін қ арастырайық:

(1)

Айталық, кейбір функциясы (1) жү йенің дербес шешімі болсын. Осы жү йеге

(2)

тү рінде алмастыру жасайық. Екі жағ ынан да туынды алып, сол жү йенің ө зін пайдалансақ, тө мендегідей тең дік аламыз:

Ал бұ дан шығ атыны

(3)

Бұ л біртекті сызық ты жү йе. Осы жү йенің жалпы шешімін тауып, оны (2) қ атынастағ ы -тің орнына қ ойсақ, (1) жү йенің жалпы шешімін табамыз.

Қ орытындылап айтсақ, біртексіз жү йенің жалпы шешімі осы жү йенің дербес шешімі мен оның сә йкес біртектісінің жалпы шешімінің қ осындысына тең.

Ал біртекті (3) жү йенің жалпы шешімі

(4)

тү рінде жазылатыны белгілі. Мұ ндағ ы, - (3) жү йенің фундаменталь матрицасы, - бір бағ аналы матрица. Сондық тан, (1) жү йенің жалпы шешімі

(5)

тү рінде жазылады. Бұ л шешімнің жалпы шешім болатынын кө рсету ү шін одан кез келген Коши есебінің шешімін алуғ а болатынын дә лелдесек, жеткілікті. Ол ү шін болғ анда болатын шартты қ анағ аттандыратын векторды табу мү мкіншілігін қ арастырайық:

(6)

Тең діктегі фундаменталь матрица болғ андық тан, аралығ ындағ ы кез келген нү ктеде оның анық тауышы нө лге тең емес, яғ ни оның кері матрицасы бар. Сондық тан,

(7)

Осы векторды (5) қ атынасқ а қ ойып, керекті шешімді аламыз:

немесе

(8)

Мұ ндағ ы, - Коши функциясы.

3.2. Біртексіз сызық ты жү йенің жалпы шешімін табу ү шін ә детте, тұ рақ тыларды вариациялау ә дісі қ олданылады. Мұ ны Лагранж ә дісі деп те атайды. Ол ү шін біртекті жү йенің жалпы шешіміндегі тұ рақ ты векторын - ғ а байланысты функция деп, біртексіз жү йенің шешімін

(9)

тү рінде іздейміз. Екі жағ ынан туынды алып, берілген (1) жү йені пайдаланып, мынандай тең деу аламыз:

Ал

(10)

тепе-тең дігін ескерсек, онда

Осыдан

(11)

Бұ л тең деудің шешімі интегралдау арқ ылы былай жазылады:

(12)

мұ ндағ ы, - тұ рақ ты вектор. Табылғ ан - ның мә нін (9) – қ атынасқ а қ ойып, біртексіз (1) жү йенің жалпы шешімін табамыз:

(13)

Бұ л жалпы шешімдегі тұ рақ ты - векторын анық тау ү шін формулада деп алсақ, онда . Сондық тан

(14)

немесе Коши функциясын енгізсек, онда шешім мына тү рде жазылады:

(15)

Бұ л қ атынас Коши формуласы деп аталынады. Осындағ ы фундаменталь матрицасы нү ктесінде нормаланғ ан болса, яғ ни болса, онда формула мына тү рде жазылады:

Егер матрицасы тұ рақ ты болса, яғ ни - тұ рақ ты болса жә не болса, онда . Бұ л жағ дайда жалпы шешім мына тү рде жазылады:

(16)

Соң ғ ы формулада - тұ рақ талғ ан сан деп, ал - векторын кез келген тұ рақ ты вектор деп қ арастырсақ, онда (16) формула Коши тү ріндегі жалпы шешімді білдіреді.

3.3. Тұ рақ ты сандарды вариациялаудың екінші тү рін келтірейік.

Біртексіз жү йенің жалпы жә не дербес шешімін іздегенде векторын координаттары бойынша іздеген қ олайлы. Олардың туындылары сызық ты алгебралық жү йенің шешімдері ретінде анық талады.

Айталық, вектор - функциялары (3) жү йенің фундаменталь шешімдер жү йесі болсын. Онда осы жү йенің жалпы шешімі

тү рінде жазылады. Мұ ндағ ы, - еркін тұ рақ тылар.Енді (1) жү йенің жалпы шешімін табу ү шін осы - лерді - ғ а байланысты ү здіксіз дифференциалданатын белгісіз функциялар деп есептейік, яғ ни

(17)

Егер осы вектор-функцияны (1) жү йеге қ ойсақ, белгісіз жә не оның туындысы бойынша тө мендегідей векторлық тең деу алынады:

Осыдан, екенін ескерсек,

(18)

тү ріндегі векторлық тең деу аламыз. Оны координаттары бойынша ашып жазсақ, тө мендегідей скалярлық тең деулер жү йесін аламыз:

(19)

Бұ л жү йе алгебралық сызық ты біртексіз жү йе. Ал оның негізгі анық тауышы Вронский анық тауышы болғ андық тан, ол нө лге тең емес. Крамер ережесі бойынша барлық функциялары бір мә нді болып анық талады:

(20)

Осыдан

(21)

Бұ л функцияларды (17) қ атынасқ а қ ойсақ,

(22)

тү ріндегі (1) жү йенің жалпы шешімін аламыз. Мұ ндағ ы, бірінші қ осынды біртекті (3) жү йенің жалпы шешімін береді де, екінші қ осынды (1) жү йенің дербес шешімін береді. Сонымен, бастапқ ы тұ жырымғ а қ айта келдік: біртексіз сызық ты жү йенің жалпы шешімі сә йкес біртекті жү йенің жалпы шешімі мен біртексіз жү йенің дербес шешімінің қ осындысынан тұ рады.