Біртекті сызықты жүйелер

2.1. Тө мендегідей біртекті сызық ты тең деулер жү йесін

қ арастырайық:

(1)

Осы жү йенің шешімдерінің кейбір қ асиеттерін келтірейік. Ең

алдымен ескеретін жә й – біртекті жү йенің бастапқ ы Коши есебінің

шартын қ анағ аттандыратын нө лдік шешімі барлық уақ ытта бар жә не ол шешім жалғ ыз.

Теорема-1. Егер – вектор-функциялары (1) жү йенің шешімдері болса, олардың кез келген сызық ты комбинациясы да сол жү йенің шешімі болады.

Дә лелдеуі. Берілген функциялардың нақ ты сандар ө рісіндегі сызық ты комбинациясын алайық:

(2)

Мұ ндағ ы, ә рбір функциясы ү шін

тепе-тең дігі орындалады.

Осыдан,

Теорема-2. Егер (1) жү йенің комплексты шешімі бар болса, онда оның нақ ты жә не жорамал бө ліктері ө з алдарына (1) жү йенің шешімін береді.

Дә лелдеуі. Шарт бойынша

Осыдан,

(3)

Анық тама-1. Егер аралығ ында анық талғ ан функциялары ү шін бә рі бірдей нө лге тең емес сандары табылып,

(4)

тең дігі орындалса, онда берілген функциялар жиыны аралығ ында сызық ты тә уелді деп аталынады, ал (4) тең дік сандарының тек нө лдік мә ндерінде ғ ана орындалса, онда берілген функциялар жиыны аралығ ында сызық ты тә уелсіз деп аталады.

Ескерту. Егер берілген функциялар жиыны аралығ ында сызық ты тә уелді болса, онда сол аралық қ а жататын кез келген нү ктесінде де тә уелді болады. Кері ұ йғ арым орындалмайды, ө йткені бұ л жағ дайда сандары -ғ а тә уелді болады. Ал егер берілген функциялар жиыны белгілі бір дифференциалдық тең деулер жү йесінің шешімдері болса, онда бір нү ктедегі тә уелділік пен тә уелсіздік сә йкес аралық тағ ы тә уелділік пен тә уелсіздікке эквивалент.

Анық тама-2. Біртекті сызық ты жү йенің аралығ ында анық талғ ан сызық ты тә уелсіз шешімдер жиынын сол жү йенің осы аралық тағ ы базисі немесе фундаменталь шешімдер жү йесі деп атайды.

2.2. Айталық, вектор-функциялары (1) жү йенің шешімдері болсын. Ә рбір бағ анасы осы векторлардың координаттарынан тұ ратын тө мендегідей матрица қ ұ райық:

(5)

Осы матрицаның анық тауышын Вронский анық тауышы немесе вронскиан деп атайды жә не оны - деп белгілейді. Сонымен,

(6)

Егер (5) матрицаның анық тауышы нө лге тең болмаса, онда ол матрица фундаменталь матрица деп аталынады.

Теорема-3. Егер функциялары аралығ ында сызық ты тә уелді болса, онда осы аралық та олардың вронскианы нө лге тең болады.

Дә лелдеуі. Анық тама бойынша

(7)

мұ нда сандарының бә рі бірдей нө л емес. Соң ғ ы қ атынасты координаттар бойынша ашып жазсақ, тө мендегідей біртекті сызық ты жү йе аламыз:

(8)

Бұ л жү йенің нө лдік емес шешімі бар болу ү шін оның анық тауышы нө лге тең болуы шарт, яғ ни .

Теорема-4. Егер функциялары (1) жү йенің аралығ ындағ ы сызық ты тә уелсіз шешімдері болса, онда осы аралық тың кез келген нү ктесінде вронскиан нө лге тең болмайды.

Дә лелдеуі. Кері жориық. Айталық, кейбір нү ктеде болсын. Белгісіз сандары арқ ылы тө мендегідей тең дік қ ұ райық:

(9)

немесе координаттары бойынша:

(10)

Бұ л жү йенің анық тауышы нө лге тең, ө йткені ол анық тауыш . Сондық тан, оның нө лдік емес шешімі бар: .

Берілген шешімдердің сызық ты комбинациясын қ арастырайық:

(11)

Бұ л вектор-функция берілген жү йенің шешімі болады (теорема-1).

Осындағ ы сандары (9) тең дікті қ анағ аттандырғ андық тан, тең дігі орындалады, яғ ни (11) шешімнің бастапқ ы мә ні нө лге тең. Шешімнің жалғ ыздық шарты бойынша нө лдік шешім. Сондық тан,

(12)

Соң ғ ы тепе-тең дік векторларының сызық ты тә уелділігін кө рсетеді. Бұ л - теореманың шартына қ айшы.

Соң ғ ы екі теореманы біріктіріп айтсақ, мынандай қ орытындығ а келеміз: (1) жү йенің шешімі аралығ ында сызық ты тә уелсіз болу ү шін олардың вронскианының аралығ ының бірде-бір нү ктесінде нө лге тең болмауы қ ажетті жә не жеткілікті.

Теорема-5. Егер матрицасы аралығ ында ү здіксіз болса, онда (1) жү йенің базисы ә рқ ашанда бар болады жә не егер жү йенің базисы болса, онда оның жалпы шешімі мына тү рде жазылады:

(13)

мұ ндағ ы, - кез келген тұ рақ ты сандар.

Дә лелдеуі. Кез келген сызық ты тә уелсіз векторлар: ү шін кейбір нү ктесінде

(14)

шартын қ анағ аттандыратын шешімдер жиынын алсақ, жеткілікті. Бастапқ ы мә ндері сызық ты тә уелсіз болғ андық тан, бұ л шешімдер аралығ ында да тә уелсіз, яғ ни олар (1) жү йенің базисын қ ұ райды.

Енді (13) қ атынастың жалпы шешім болатынын кө рсетейік. Біріншіден, бұ л қ атынас шешімдердің сызық ты комбинациясы болғ андық тан, сандарының барлық мә ндерінде жү йенің шешімі болады (теорема-1). Екіншіден, одан кез келген Коши есебінің шешімін алуғ а болады. Ол ү шін

(15)

шартын қ оялық, яғ ни

(16)

Бұ л векторлық тең дікті координаттары бойынша ашып жазсақ,

(17)

жү йесін аламыз. Оның анық тауышы нө лге тең емес. Сондық тан, (17) жү йенің тек жалғ ыз ғ ана шешімі бар: . Осы тұ рақ тыларды (13) қ атынасқ а қ ойсақ, (15) шартты қ анағ аттандыратын дербес шешім аламыз.

2.3. Жалпы шешімді фундаменталь матрица арқ ылы жазуғ а болады. Айталық, берілген (1) жү йенің фундаменталь матрицасы болсын. Оның ә рбір бағ анасы тә уелсіз векторлардың координаттары болғ андық тан, бұ л матрица матрицалық

(18)

тең деудің шешімі болады, яғ ни

(19)

Осы матрицаны пайдалансақ, жалпы шешім

(20)

тү рінде жазылады. Мұ нда - кез келген тұ рақ ты вектор. Бұ л қ атынастан Коши есебінің шешімін анық тауғ а болады: (15) бастапқ ы шартты пайдалансақ,

тең дігін аламыз. Осыдан . Сонда

(21)

тү ріндегі дербес шешім аламыз. Егер белгілеуін енгізсек, соң ғ ы тең дік былай жазылады:

(22)

Осындағ ы матрицасын Коши матрицасы деп атайды.

Егер соң ғ ы қ атынастағ ы -ді тұ рақ талғ ан сан, ал -ді тұ рақ талмағ ан вектор деп есептесек, онда (22) қ атынасты жү йенің Коши тү ріндегі жалпы шешімі деп атайды.

Егер кейбір нү ктесінде тең дігі орындалса, онда матрицасы нү ктесінде қ алыпталғ ан (нормаланғ ан) деп аталады. Бұ л жағ дайда шешім

(23)

тү рінде жазылады.

Теорема-6. Егер фундаменталь матрица болса, онда матрицасы да фундаменталь матрица болады. Мұ нда - тұ рақ ты - ө лшемді ерекше емес матрица.

Шынында да,

Ал матрицасы (18) матрицалық тең деуді қ анағ аттандыратындық тан,

тепе-тең дігін аламыз, яғ ни матрицасы да (18) матрицалық тең деуді қ анағ аттандырады. Оның ү стіне

2.4. Лиувилль формуласын келтірейік.

Алдымен, -ші ретті анық тауыштың туындысы қ алай ашылатынын кө рсетейік.

-ші ретті анық тауыштың туындысы сол анық тауыштың ә р бағ анасы (немесе ә р жатық жолы) кезекпен туындыларымен ауыстырылғ ан анық тауыштардың қ осындысынан тұ рады. Осы ереже бойынша вронскианның туындысын ашайық:

(24)

Мұ ндағ ы, берілген жү йенің шешімі болғ андық тан,

Осы ө рнектерді анық тауыштың -нші бағ анасына қ ойсақ, анық тауыштың қ асиеттері бойынша, болатын қ осындыдан басқ а анық тауыштардың бә рі нө лге тең болады, ө йткені олардың екі бағ анасы ө зара пропорционал болады. Сондық тан,

Осыдан

(25)

Мұ ндағ ы, - берілген матрицасының ізі деп аталады.

Осы (25) тең дікті Лиувилль формуласы деп атайды. Бұ л формуладан мынандай қ орытынды шығ ады: егер аралығ ының бір нү ктесінде вронскиан нө лге тең болса, ол бү кіл аралық та нө лге тең болады, ал аралығ ының бір нү ктесінде нө лге тең болмаса, онда ол бү кіл аралық та нө лге тең болмайды.

2.5. Айталық, - фундаменталь матрица болсын.

тепе-тең дігін дифференциалдайық:

Осыдан

немесе

Соң ғ ы қ атынастағ ы матрицаларды аударсақ,

тең дігін аламыз. Бұ дан шығ атын қ орытынды, матрицасы

(27)

тең деуінің фундаменталь матрицасы болатынын кө реміз. Осы (27) жү йені берілген (1) жү йенің тү йіндесі деп атайды. Егер осы жү йенің кейбір фундаменталь матрицасы болса, онда

қ атынасы орын алады. Мұ нда -ерекше емес матрица. Осыдан

немесе

Соң ғ ы тең діктен мынаны кө реміз: - матрицасының жатық жолы (27) жү йенің шешімдері болатынын, матрицасының бағ аналары (1) жү йенің шешімдері болатыны, ал олардың кө бейтіндісі тұ рақ ты екенін кө реміз.