Сызықты жүйелердің жалпы қасиеттері

1.1. Қ арапайым тең деулер жү йелердің ең маң ызды дербес тү рі – сызық ты жү йелер болып есептелінеді. Оның скалярлық тү рдегі жазылуы тө мендегідей болады:

(1)

Мұ ндағ ы, жә не функциялары кейбір аралығ ында анық талғ ан нақ ты ү здіксіз функциялар деп қ арастырылады. Бұ л жү йені былайша жазуғ а да болады:

(2)

Егер матрицасын енгізсек, ал пен -ты вектор немесе бір бағ аналы матрицалар деп қ арастырсақ, онда берілген жү йені тө мендегідей векторлы-матрицалық тү рде жазуғ а болады:

(3)

Бұ л қ атынасты жү йе деумен қ атар (оның векторлық мағ ынасын ескеріп), бір тең деу деп те айтуғ а болады.

Ә детте, – вектор-функцияны бос мү ше деп атайды. Егер осы бос мү ше нө лге тең болса, онда (3) жү йенің орнына оның біртектісін аламыз:

(4)

Бос мү ше нө лге тең болмағ анда (3) жү йені (4) жү йенің сә йкес біртексізі деп атайды.

Бұ л жү йелер ү шін Коши есебі мына тү рде қ ойылады: барлық векторлардың ішінен

бастапқ ы шартын қ анағ аттандыратын шешімді табу керек. Мұ ндағ ы, - берілген бастапқ ы вектор.

1.2. Сызық ты жү йелердің жалпы қ асиеттерін келтірейік:

Тә уелсіз айнымалыны ү здіксіз дифференциалданатын функция арқ ылы басқ а бір тә уелсіз айнымалымен алмастырғ аннан жү йенің сызық тығ ы ө згермейді.

Шынында да, алмастыруын жасайық. Туындыны жаң а айнымалы арқ ылы ө рнектейік:

Осыдан,

немесе

яғ ни,

(5)

тү ріндегі жаң а сызық ты жү йеге қ айта келдік.

Белгісіз функцияны сызық ты тү рлендіргеннен жү йенің

сызық тығ ы ө згермейді.

Шынында да, айталық тү рінде алмастыру

жасалсын. Мұ нда ерекше емес матрица, яғ ни оның анық тауышы нө лге тең емес. Осы қ атынастан туынды алып берілген жү йенің ө зін пайдалансақ, мынандай қ атынастар аламыз:

яғ ни,

Осыдан,

немесе

Мұ ндағ ы,