Біртекті сызықты теңдеулер

4.1. Біртекті сызық ты тең деудің шешімдерінің қ асиеттерін келтірейік. Коэффициенттері кейбір аралығ ында ү здіксіз болып келетін мына -ретті тең деуді қ арастырайық:

(1)

Ең алдымен ескеретін жә й – біртекті сызық ты тең деудің барлық жағ дайда нольдік шешімі бар. Ол шешім

(2)

бастапқ ы шартты қ анағ аттандыратын Коши есебінің шешімі: . Бұ л шешім жалғ ыз.

Теорема-1. Егер функциялары (1) тең деудің аралығ ындағ ы шешімдері болса, онда олардың сызық ты комбинациясы

(3)

сол тең деудің аралығ ындағ ы шешімі болады.

Дә лелдеуі. Шарт бойынша ә рбір шешім:

Енді сызық ты дифференциалдық оператордың қ асиетін пайдалансақ, онда

Теорема-2. Егер (1) тең деудің тү ріндегі комплекс шешімі бар болса, онда оның нақ ты жә не жорамал бө ліктері ө з алдына сол тең деудің шешімдерін береді.

Дә лелдеуі. Шарт бойынша

оператордың қ асиеті бойынша

Осыдан .

Анық тама-1. Егер аралығ ында анық талғ ан

функциялары ү шін бә рі бірдей нө лге тең емес сандары табылып,

(4)

тең дігі орындалса, онда берілген функциялар жиыны аралығ ында сызық ты тә уелді деп аталынады, ал (4) тең дік сандарының тек нө лдік мә ндерінде ғ ана орындалса, онда берілген функциялар жиыны аралығ ында сызық ты тә уелсіз деп аталады.

4.2. Айталық, функциялары (1) тең деудің аралығ ында анық талғ ан нақ ты шешімдері болсын. Осы функциялар мен олардың туындыларынан қ ұ рылғ ан тө мендегідей ретті анық тауыш

(5)

Вронский анық тауышы деп аталады. Қ ысқ аша, оны функциялардың вронскианы дейді. Бұ л анық тауышты қ ысқ аша, деп белгілейді.

Теорема-3. Егер шешімдері аралығ ында сызық ты тә уелді болса, онда олардың вронскианы осы аралық та нө лге тепе-тең.

Дә лелдеуі. Анық тама бойынша бә рі бірдей нө лге тең емес сандары ү шін

(6)

тең дігі орындалады.

Осы қ атынасты рет дифференциалдау арқ ылы сызық ты алгебралық жү йе қ ұ райық:

(7)

Бұ л біртекті сызық ты алгебралық жү йенің нө лдік емес шешімі бар болуы ү шін оның анық тауышы нө лге тең болуы керек, ал ол анық тауыш Вронский анық тауышы, яғ ни .

Теорема-4. Егер шешімдері аралығ ында сызық ты тә уелсіз болса, онда олардың вронскианы осы аралық тың бірде-бір нү ктесінде нө лге айналмайды.

Дә лелдеуі. Кері жориық, кейбір нү ктесі ү шін болсын. (7) жү йені бір нү кте ү шін қ айта қ ұ райық:

Бұ л жү йенің анық тауышы болғ андық тан, нө лге тең емес шешім бар:

Осы сандар арқ ылы қ ұ рылғ ан

функцияны қ арастырайық. Бұ л қ осынды (1) тең деудің шешімі болатыны 1-теоремада кө рсетілген жә не ол (2) бастапқ ы шарттарды қ анағ аттандырып тұ р. Сондық тан, шешімнің жалғ ыздығ ы бойынша . Демек,

Мұ ндағ ы, бә рі бірдей нө лге тең емес. Соң ғ ы қ атынас функцияларының сызық ты тә уелділігін кө рсетеді. Ал бұ л теореманың шартына қ айшы. Сондық тан, бірде-бір нү ктеде нө лге тең болмайды. Бұ л шарт ә рі жеткілікті – егер берілген шешімдердің вронскианы нө лге тең болмаса, онда олар берілген аралық та сызық ты тә уелсіз. Бұ л тұ жырымды да кері жору арқ ылы оң ай дә лелдеуге болады.

4.3. Анық тама-2. Сызық ты біртекті тең деудің кез келген сызық ты тә уелсіз шешімдер жү йесі осы тең деудің базисы немесе фундаменталь шешімдер жү йесі деп аталады.

Теорема-5. Біртекті сызық ты тең деудің берілген аралық та базисы ә рқ ашанда бар болады жә не егер базис болса, онда тең деудің жалпы шешімі тө мендегідей тү рде жазылады:

(8)

Дә лелдеуі. Кез келген нө лге тең емес ретті анық тауыш алып, кейбір нү ктесі ү шін

(9)

шартын қ анағ аттандыратын шешімдерін қ ұ рсақ, онда олардың вронскианы . Ал бұ л шешімдердің аралығ ында сызық ты тә уелсіздігін кө рсетеді. Мұ ндай анық тауыштарды шексіз кө п ала беруге болады.

Енді (8) қ атынастың жалпы шешім болатынын кө рсетейік. Біріншіден, бұ л қ атынас шешімдердің сызық ты комбинациясы болуы себепті, сандарының барлық мә ндерінде шешім болады. Екіншіден, одан кез келген Коши есебінің шешімін алуғ а болады. Мынандай бастапқ ы шарт қ оялық:

(10)

Сонда тұ рақ ты сандарын табу ү шін сызық ты алгебралық біртексіз жү йе аламыз:

(11)

Бұ л жү йенің анық тауышы жә не ол нө лге тең емес. Сондық тан, (11) жү йенің жалғ ыз ғ ана шешімі бар: . Осы табылғ ан мә ндерді (8) қ атынасқ а қ ойсақ, (10) бастапқ ы шартты қ анағ аттандыратын жалғ ыз дербес шешім аламыз.

Ә детте, бастапқ ы анық тауыштың мү шелері ретінде Кронекер символын алуғ а болады:

Осығ ан сә йкес бастапқ ы шартты да мына тү рде

алсақ, онда болады. Бұ л жағ дайда фундаменталь шешімдер жү йесі нү ктесінде нормаланғ ан (қ алыпталғ ан) деп аталады.

Теорема-6. Берілген фундаменталь шешімдер жү йесі бойынша дифференциалдық тең деу қ ұ руғ а болады жә не ол жалғ ыз болады.

Дә лелдеуі. Айталық, кейбір аралығ ында базисы берілсін. Онда іздеп отырғ ан тең деудің кез келген шешімі (8) тү рде болатыны белгілі. Осы (8) шешімді пайдаланып - ретті анық тауышты қ арастырайық:

(12)

Бұ л анық тауыш нө лге тең, ө йткені соң ғ ы бағ ананың мү шелері басқ а бағ аналарының мү шелерінің сызық ты комбинациясы. Соң ғ ы бағ анадағ ы мү шелерді жалпы жағ дайда деп белгілеп, осы бағ ана бойынша жіктеп жазсақ, ретті біртекті сызық ты тең деу аламыз. Мұ нда ең жоғ арғ ы ретті туындысының коэффициенті -ғ а тең. Ал ол аралығ ында нө лге тең емес. Сондық тан, жіктелудің мү шелерін осы анық тауышына бө лсек, ретті сызық ты тең деудің қ алыпты тү рін аламыз:

4.4. Жоғ арыда келтірілген жіктеуден шығ атын Лиувилль формуласын келтірейік.

Қ ұ рылғ ан тең деудің бірінші коэффициенті былай анық талады:

(13)

Анық тауыштың туындысын табу ережесін еске алсақ, (13) қ атынастың алымы бө лімінің туындысы болып шығ ады, яғ ни

Осы қ атынасты интегралдасақ,

тең дігін аламыз. Осыдан

немесе

(14)

Осы қ атынасты Лиувилль формуласы деп атайды.

Лиувилль формуласын пайдаланып бір шешімі белгілі екінші ретті біртекті сызық ты тең деудің жалпы шешімін қ ұ руғ а болады.

Егер тең деуінің шешімі белгілі болса, онда Лиувилль формуласы былай жазылады:

немесе

Соң ғ ы тең дікті функциясына кө бейтіп интегралдасақ, онда

тең дігінен

тең дігін аламыз. Осыдан

(15)

Мұ ндағ ы, функциясы тең деудің екінші дербес шешімін береді. Оғ ан – тең деуге қ ойып кө з жеткізуге болады жә не бұ л жә не шешімдер ө зара тә уелсіз. Сондық тан, (15) қ атынас жалпы шешім болады.