Негізгі түсініктер және анықтамалар

1.1. Жоғ арғ ы ретті жә й дифференциалдық тең деудің туынды бойынша шешілмеген тү рі былай жазылады:

(1)

Мұ ндағ ы, -тә уелсіз айнымалы, -белгісіз функция, ал - белгісіз функцияның туындылары . - кейбір облысында анық талғ ан нақ ты ү здіксіз функция.

Егер (1) қ атынас жоғ арғ ы туындысы бойынша шешілсе, онда былай жазамыз:

(2)

Мұ ндағ ы, - функциясы кейбір облысында анық талғ ан ү здіксіз функция деп есептелінеді.

Бұ л тең деулердің шешімдері де бірінші ретті тең деулердің шешімдеріне ұ қ сас тү рде анық талады.

Анық тама-1. аралығ ында анық талғ ан функциясы (2) тең деудің осы аралық тағ ы шешімі деп аталынады, егер ол тө мендегідей ү ш шартты қ анағ аттандырса:

4) функциясы аралығ ында рет

дифференциалданатын болса;

5) ;

6) .

Айқ ындалмағ ан (1) тең деудің де шешімін осы тү рде анық тауғ а болады.

Анық тама-2. аралығ ында анық талғ ан функциясы (1) тең деудің осы аралық тағ ы шешімі деп аталынады, егер ол тө мендегідей ү ш шартты қ анағ аттандырса:

1) функциясы аралығ ында рет

дифференциалданатын болса;

2) ;

3) .

Жоғ арғ ы ретті тең деу ү шін Коши есебі былайша қ ойылады: (2) тең деудің барлық шешімдерінің ішінен

(3)

шартын қ анағ аттандыратын шешімді табу керек. Мұ ндағ ы, сандарын бастапқ ы мә ндер, ал (3) шартты бастапқ ы шарт деп атайды. Ә рине, мұ нда .

Бұ л жерде де Коши есебіне геометриялық, механикалық мә н беруге болады. Бірақ, тең деудің реті жоғ ары болғ ан сайын бастапқ ы шартқ а мә н-мағ ына беру қ иынғ а соғ ады. Мысалы, екінші ретті тең деу ү шін қ ойылғ ан бастапқ ы екі мә ннің біріншісі, шешімнің қ ай нү кте арқ ылы ө тетінін білдірсе, екіншісі, интегралдық қ исық тың сол нү ктедегі жанамасының ө сімен жасайтын бұ рыштың тангенсін білдіреді, ал механикалық жағ ынан – қ озғ алыстың берілген қ алыптан қ андай жылдамдық пен ө тетінін білдіреді.

1.2. Жоғ арғ ы ретті тең деулердің қ асиеттерін зерттегенде оларды бірінші ретті тең деулер жү йесіне келтіріп алу ың ғ айлы.

Берілген (2) тең деу ү шін мынандай белгілеулер енгізейік:

Бұ л жағ дайда (2) тең деудің орнына мынандай жү йе аламыз:

(4)

Бұ л жү йе жалпы қ алыпты

(5)

жү йенің дербес тү рі. Сондық тан, алда біз (5) тү рдегі қ алыпты жү йелерді қ арастырамыз.

Жалпы, бірінші ретті тең деулердің қ алыпты жү йесін ретті бір тең деуге келтіруге болады. Ол ү шін (5) жү йенің бір тең деуін рет дифференциалдап, сол жү йенің басқ а тең деулерін пайдаланып отыру керек (мұ нда функциялары керекті рет дифференциалданады деп алу керек). (5) жү йенің бірінші тең деуін алып рет дифференциалдайық:

(6)

Егер , онда (5) жү йенің бірінші тең деуінен жә не (6) жү йенің алдың ғ ы - тең деуінен қ ұ рылғ ан жү йені бойынша шешуге болады жә не олар арқ ылы ө рнектеледі.

Осы табылғ ан ө рнектерін (6) жү йенің соң ғ ы тең деуіне апарып қ ойсақ,

(7)

тү ріндегі ретті бір тең деу аламыз. (5) жү йе мен (7) тең деудің интегралдық қ исық тары бір болады.

1.3. Енді (5) тү рдегі қ алыпты жү йелерге байланысты кейбір тү сініктерді келтірейік.

Алдымен, бұ л жү йелерді векторлық функциялар енгізу арқ ылы қ ысқ артып жазуғ а болады.

Егер жә не деп алсақ, онда (5) жү йені былай жазамыз:

(8)

Бұ л қ атынасты векторлық бір тең деу деп те, қ алыпты жү йе деп те атауғ а болады. Мұ ндағ ы, - вектор-функциясы кейбір облысында анық талғ ан ү здіксіз функция. Бұ л жү йенің шешімін де алдың ғ ы анық тамаларғ а ұ қ сас тү рде анық тайды.

Анық тама-3. аралығ ында анық талғ ан вектор-функциясы (8) жү йенің шешімі деп аталынады, егер ол тө мендегідей ү ш шартты қ анағ аттандырса:

1) функциясы аралығ ында дифференциалданатын

болса;

2) ;

3) .

Айталық, вектор-функциясы (8) жү йенің аралығ ында анық талғ ан шешімі болсын. кең істігіндегі - нү ктелердің жиыны берілген жү йенің интегралдық қ исығ ын береді, ал кең істігіндегі - нү ктелердің жиыны жү йенің траекториясын береді. Осы кең істігі фазалық кең істік деп аталынады. Белгілі бір шешімге сә йкес траектория сол шешімнің кең істігіндегі интегралдық қ исық тың кең істігіне ө сіне параллель тү сірілген кө лең і (проекциясы) болып табылады.

Векторлық (8) тең деу ү шін Коши есебі былай қ ойылады: барлық шешімдердің ішінен

(9)

шартты қ анағ аттандыратын шешімін табу керек. Мұ нда - бастапқ ы вектор, - бастапқ ы нү кте.

Бұ л Коши есебіне жауапты тө мендегідей теорема айқ ындайды.

Теорема-1. Егер функциясы бастапқ ы нү ктені қ амтитын ашық облысында ү здіксіз болса, ал оның кез келген шектелген тұ йық ішкі бө лігінде векторы ьойынша Липшиц шартын қ анағ аттандыратын болса, онда Коши есебінің кейбір кішірейген аралық та анық талғ ан жалғ ыз ғ ана шешімі болады.

Бұ л теореманы глобалды теорема дейді. Біз теореманың дә лелдеуін келтірмейміз (оны [5] оқ улық тан кө руге болады).

Шешімнің басқ ада қ асиеттерін білдіретін кейбір тұ жырымдарды қ ысқ аша тү рде дә лелдеусіз келтіре кетейік.

Теорема-2. Егер (8) тең деу ү шін 1-теореманың шарттары орындалса, онда Коши есебін қ анағ аттандыратын шешім бастапқ ы мә ндер бойынша ү здіксіз болады.

Теорема-3. Егер (8) тең деудің оң жағ ындағ ы функция қ осымша кейбір параметрлерге байланысты болса жә не сол параметрлер бойынша ү здіксіз болса, онда Коши есебін қ анағ аттандыратын шешім параметрлер бойынша да ү здіксіз болады.

Бұ л теоремалардың да дә лелдеулерін жоғ арыда кө рсетілген оқ у қ ұ ралынан алуғ а болады.

1.4. Қ алыпты (8) жү йедегі вектор-функциясы кейбір ашық (не тұ йық) облысында шешімнің бар болу жә не жалғ ыздық шарттарын қ анағ аттандырсын. Осы облысты шешімнің бар болу жә не жалғ ыздық облысы деп атайды.

Анық тама-4. облысында анық талғ ан, тә уелсіз айнымалы бойынша ү здіксіз дифференциалданатын, тұ рақ ты векторы бойынша ү здіксіз

(10)

функциясы (8) жү йенің жалпы шешімі деп аталынады, егер ол тө мендегідей екі шартты қ анағ аттандырса:

1) оны тұ рақ ты векторы бойынша шешуге болатын

болса, яғ ни

(11)

2) тұ рақ ты векторының (11) формула бойынша

анық талғ ан барлық мә ндерінде (10) қ атынас (8) жү йенің шешімі болса.

Бұ л анық тама Коши есебінің шешімін табу жолын кө рсетеді.

Егер (8) жү йе ү шін

бастапқ ы шарты қ ойылса, онда (11) қ атынастан:

Осы векторын (10) қ атынасқ а қ ойсақ,

тү ріндегі Коши есебінің шешімін аламыз.

Анық тама-5. облысында анық талғ ан, ө здігінен тұ рақ ты санғ а айналмайтын, ү здіксіз дифференциалданатын функциясы (8) жү йенің интегралы деп аталады, егер ол функция векторының орнына (8) жү йенің кез келген шешімін қ ойғ анда тұ рақ ты санғ а тепе-тең болса.

Осы функцияны еркін тұ рақ ты санғ а тең естіру арқ ылы алынғ ан

(12)

қ атынасты жү йенің бірінші интегралы деп атайды.

Интегралдың бір қ асиетін айта кетейік, - ү здіксіз диффренциалданатын функция болсын.

Айталық, бірінші интегралдағ ы -тің орнына (8) жү йенің бір дербес шешімі қ ойылғ ан деп. Бұ л жағ дайда функциясы тек айнымалысынан ғ ана тә уелді болады. Осы функцияны бойынша дифференциалдасақ, онда (12) қ атынастан

тепе-тең дігін аламыз. Бұ дан

тепе-тең дігі алынады. Бұ дан шығ атын қ орытынды – жү йе бойынша алынғ ан интегралдың толық туындысы нө лге тепе-тең, яғ ни

Осыдан

Кей жағ дайда интегралдың бұ л қ асиетін оның анық тамасы ретінде қ олданады.

Қ алыпты жү йенің бірінші интегралдары белгілі болса, онда олар жү йенің жалпы шешімін береді.

Жалпы шешімнен векторының белгілі бір мә нінде шығ атын шешімді дербес шешім дейді, ал векторының тұ рақ ты мә ндерінде алынбайтын шешімді ерекше шешім дейді. Бұ л тү сініктерді басқ аша да беруге болатынын 1-тарауда айтқ анбыз: ә рбір нү ктесінде Коши есебінің жалғ ыздық шарты орындалатын шешімді дербес шешім, ал ә рбір нү ктесінде Коши есебінің жалғ ыздық шарты орындалмайтын шешімді ерекше шешім дегенбіз.

Ерекше шешімдер ә детте, тең деудің оң жағ ындағ ы функцияның бойынша алынғ ан туындыларының шексіздікке айналатын нү ктелер жиыны ішінен ізделінеді.