Біртексіз сызықты теңдеулер

5.1. Тө мендегідей біртексіз сызық ты тең деуді қ арастырайық:

(1)

Мұ нда да коэффициенттер мен бос мү ше кейбір аралығ ында ү здіксіз функциялар деп есептелінеді. Осы тең деудің сә йкес біртектісін қ оса қ арастырайық:

(2)

Бұ л екі тең деудің шешімдерінің арасында тығ ыз байланыстар бар.

Егер біртексіз (1) тең деудің шешімі, ал біртекті (2)

тең деудің шешімі болса, онда функциясы (1) тең деудің шешімін береді.

Шынында да, . Осыдан

.

Егер жә не функциялары (1) тең деудің шешімдері болса, онда олардың айырмасы (2) тең деудің шешімін береді.

Шыныда да, . Осыдан

.

Егер (1) тең деуде болса, ал функциясы тең деуінің шешімі болса, онда

Бұ л қ асиетті суперпозиция қ асиеті деп атайды.

Егер (1) тең деудің оң жағ ы комплексты функция болса , ал комплексты функция сол тең деудің шешімі болса, онда нақ ты жә не функциялары сә йкес жә не тең деулерінің шешімдері болады.

Шынында да, . Осыдан тепе-тең діктері шығ ады.

Осы қ асиеттерді пайдалансақ, тө мендегідей қ орытындығ а келеміз.

Теорема. Біртексіз (1) тең деудің жалпы шешімі осы тең деудің бір дербес шешімі мен сә йкес біртекті (2) тең деудің жалпы шешімінің қ осындысынан тұ рады.

Дә лелдеуі. Айталық, біртекті (2) тең деудің фундаменталь шешімдер жү йесі болсын, ал функциясы біртексіз (1) тең деудің бір дербес шешімі болсын. Бұ л жағ дайда

(3)

қ осындысы берілген аралық та (1) тең деудің жалпы шешім болатынын кө рсетейік. Мұ нда - еркін тұ рақ тылар. - қ асиет бойынша (3) қ осынды (1) тең деудің шешімі:

Енді осы шешімнен кез келген Коши есебінің жалғ ыз ғ ана шешімін алуғ а болатынын кө рсетсек, жеткілікті. Бастапқ ы шартты

(4)

тү рінде алсақ, онда тө мендегідей жү йе аламыз:

(5)

Бұ л жү йе сандары бойынша сызық ты біртексіз алгебралық жү йе. Оның анық тауышы . Сондық тан, жү йенің нө лдік емес жалғ ыз ғ ана шешімі бар: . Осы сандарды (3) қ атынасқ а қ ойсақ, (1) тең деудің (4) шартты қ анағ аттандыратын жалғ ыз ғ ана шешім аламыз.

5.2. Біртексіз тең деудің жалпы шешімін табу ү шін ә детте, тұ рақ тыларды вариациялау ә дісі қ олданылады. Бұ л ә дістің мә нісі – сә йкес біртекті тең деудің жалпы шешімі белгілі деп, ондағ ы еркін тұ рақ тыларды -қ а байланысты айнымалы шамалар деп есептелініп, шешім мына тү рде ізделінеді:

(6)

мұ ндағ ы, - біртекті тең деудің фундаменталь шешімдері. Осындағ ы функцияларын (6) қ осынды (1) тең деудің шешімі болатындай етіп таң дайды. Бұ л функцияларды анық тау ү шін тең деу керек. Ол ү шін (6) ө рнекті ретке дейін дифференциалдаймыз. Мұ нда функцияларының туындыларына қ осымша шарт қ ойылып отырады.

Сонымен,

Осындағ ы екінші қ осындыны нө лге тең ейміз:

Қ алғ ан бірінші қ осындыдан екінші туынды табамыз:

Осындағ ы екінші қ осындыны тағ ы да нө лге тең ейміз:

Осылай қ осындыны рет дифференциалдап, туындыларының қ осындысын ә рдайым нө лге тең еп отырамыз. Сонда

,

ал

Соң ғ ы екінші қ осындыны нө лге тең естірмейді. Ол қ осынды (1) тең деудің оң жағ ындағ ы функциясына тең деп алынады.

Себебі, (6) ө рнекті жә не оның туындыларын (1) тең деуге апарып қ ойсақ, тө мендегідей тең дік аламыз:

мұ нда . Сонымен, функцияларын анық тау ү шін мынандай жү йе аламыз:

(7)

Бұ л функциялары бойынша сызық ты біртексіз алгебралық жү йе. Оның анық тауышы Вронский анық тауышы, ал ол нө лге тең емес. Ө йткені, шешімдері ө зара сызық ты тә уелсіз. Осы жү йені Крамер ережесі бойынша шешсек,

(8)

ө рнегін аламыз. Мұ ндағ ы, - Вронский анық тауышының -ші жатық жолы мен -нші тік жолының қ иылысында тұ рғ ан элементтің алгебралық толық тауышы.

Соң ғ ы қ атынасты интегралдап, функциясын табамыз:

(9)

Мұ ндағ ы, -еркін тұ рақ тылар. Табылғ ан осы функцияларды (6) қ атынасқ а қ ойсақ,

функциясын аламыз. Бұ л функция ө зінің қ ұ рылымы бойынша (1) тең деудің шешімі. Мұ ндағ ы, бірінші қ осынды (1) тең деудің дербес шешімін, екінші қ осынды біртекті тең деудің жалпы шешімін білдіреді. Сонымен, бастапқ ы айтылғ ан қ ағ идағ а қ айта келдік: біртексіз тең деудің жалпы шешімі осы тең деудің бір дербес шешімі мен оның сә йкес біртектісінің жалпы шешімінің қ осындысынан тұ рады.