Ысқаша мазмұны. Тұрақты коэффициентті сызықты теңдеулерді интегралдау

Тұ рақ ты коэффициентті сызық ты тең деулерді интегралдау

6.1. Алдымен біртекті тең деуді қ арастырайық:

(1)

Мұ ндағ ы, - тұ рақ ты нақ ты сандар.

Бұ л тең деудің шешімін Эйлер ұ сынғ ан ә діс бойынша

(2)

тү рінде іздейміз. Мұ ндағ ы, - белгісіз тұ рақ ты сан. Осы ө рнекті (1) тең деудің сол жағ ына қ ойсақ,

(3)

қ атынасын аламыз. Мұ нда

(4)

(3) қ атынастан функциясы тең деудің шешімі болу ү шін санының тең деуінің шешімі болуы керек екенін кө реміз, яғ ни

(5)

Соң ғ ы тең деуді сипаттаушы тең деу деп, ал оның тү бірлерін сипаттаушы сандар деп атайды.

Сипаттаушы сандардың тү рлеріне байланысты фундаменталь шешімдер жү йесі ә ртү рлі болады. Сол жағ дайларды қ арастырайық.

Сипаттаушы сандары ә ртү рлі нақ ты сандар болсын.

Бұ л сандарды кезекпен (2) қ атынасқ а қ ойып, дербес шешім табамыз:

(6)

Олардың сызық ты тә уелсіздігін кө рсету ү шін Вронский анық тауышын қ ұ райық:

Соң ғ ы анық тауыш Вандермонд анық тауышы деп аталады. Ол сандары ә ртү рлі болғ анда нө лге айналмайды, яғ ни . Сондық тан, (6) функциялар жиыны берілген тең деудің фундаменталь шешімдер жү йесін қ ұ райы. Бұ л жағ дайда жалпы шешім

(7)

тү рінде жазылады. Мұ ндағ ы, - еркін тұ рақ ты сандар.

Сипаттаушы сандардың ішінде комплексты сандар кездессін. Айталық, - сипаттаушы тең деудің жә й тү бірі болсын. Онда оның тү йіндесі саны да сол тең деудің тү бірі болады. Бұ л жағ дайда тү біріне сә йкес шешім

(8)

тү рінде жазылады. Бұ л комплексты функция. Ө ткен параграфта кө рсетілген сызық ты тең деудің шешімдерінің қ асиеті бойынша оның нақ ты жә не жорамал бө ліктері ө з алдына берілген тең деудің шешімдері болады. Сондық тан,

(9)

функциялары (1) тең деудің шешімдері болады жә не олар ө зара сызық ты тә уелсіз. Ал тү біріне сә йкес шешім де сол ө зара тә уелсіз екі функцияны береді:

(10)

Бұ лардың біріншісі, алдың ғ ымен бірдей; екіншісі, тек таң басымен ө згеше, яғ ни (9) жә не (10) функциялар ө зара сызық ты тә уелді. Сондық тан, ө зара тү йіндес комплекс тү бір ү шін (9) тү ріндегі екі нақ ты функция алынады. Осы сияқ ты, кез келген қ ос комплексты тү бір ү шін екі нақ ты функциялар алынып отырады. Оларғ а қ оса нақ ты тү бірлерге сә йкес қ ойылатын шешімдерді алсақ, олардың жиыны берілген тең деудің фундаменталь шешімдер жү йесін қ ұ райды.

Сипаттаушы тең деудің тү бірлерінің кейбіреулері еселікті тү бірлер болсын.

Айталық, -саны сипаттаушы тең деудің -еселікті тү бірі болсын. Бұ л жағ дайда

(11)

шарттары орындалады.

тепе-тең дігін бойынша рет дифференциалдайық:

(12)

Осыдан (11) шартты ескерсек:

болатынын кө реміз, яғ ни

(13)

функцияларының (1) тең деудің шешімдері болатынын кө реміз. Бұ л шешімдердің де ө зара сызық ты тә уелсіз екенін кө рсету қ иын емес. Мұ нда, -саны нақ ты болса, онда (13) функциялар да нақ ты функциялар болады.

Егер сипаттаушы тең деудің комплексты тү бірі еселікті тү бір болса, оның тү йіндесі тү бірі де еселікті болады. Бұ л жағ дайда да алдың ғ ы (13) шешімдер сияқ ты тө мендегідей шешім аламыз:

(14)

Осы комплексты функциялардың нақ ты жә не жорамал бө ліктерін ажыратсақ, онда нақ ты функциялардың жиынын аламыз:

(15)

Бұ л функциялардың да сызық ты тә уелсіздігін дә лелдеу қ иын емес. Тү йіндес тү бірі жаң а тә уелсіз шешімдер тудырмайды.

Сонымен, ә рбір нақ ты, комплексты, еселікті тү бірлерге сә йкес қ ойылатын шешімдерді есептесек, барлығ ы нақ ты шешімдер аламыз. Олардың сызық ты комбинациясы берілген тең деудің жалпы шешімін береді.

6.2. Енді тұ рақ ты коэффициентті біртексіз тең деуді қ арастырайық:

(16)

Мұ нда -сандары нақ ты, ал - функциясы кейбір аралығ ында ү здіксіз деп алынады.

Ө ткен параграфта кө рсетілгендей, біртексіз сызық ты тең деудің жалпы жә не дербес шешімдерін жалпы жағ дайда тұ рақ тыларды вариациялау арқ ылы анық тауғ а болады. Кейбір жағ дайларда функциясының тү ріне байланысты шешімді алгебралық амалдардың кө мегімен интегралсыз-ақ табуғ а болады.

Айталық, функциясы квазикө пмү шелік тү рде берілсін, яғ ни

(17)

Мұ нда -дә режесі -ге тең кө пмү шелік:

(18)

Сонымен,

(19)

Дербес шешімді қ ұ рудың екі жағ дайы қ арастырылады.

-саны сипаттаушы тең деудің тү бірі емес. Бұ л жағ дайда дербес шешім мына тү рде ізделінеді:

(20)

Мұ нда

(21)

Осы (20) ө рнекті (19) тең деуге қ ойып, алдын ала функциясына қ ысқ артып, -тың ә ртү рлі дә режелерінің коэффициенттерін тең естіретін болсақ, - коэффициенттері тө мендегідей тең деулерден бірмә нді тү рде анық талады:

(22)

Мұ нда , ө йткені -саны сипаттаушы тең деудің тү бірі емес.

-саны сипаттаушы тең деудің -еселікті тү бірі болсын, яғ ни

(23)

Бұ л жағ дайда дербес шешім

(24)

тү рінде ізделінеді. Мұ нда да (24) ө рнекті (19) тең деуге қ оятын болсақ, -сандарын табу ү шін тө мендегідей алгебралық тең деулер аламыз:

(25)

Мұ нда болғ андық тан, барлық коэффициенттер бір мә нді тү рде анық талады.

Ескерту. Егер (16) тең деудің оң жағ ы тригонометриялық квазиполином тү рінде берілсе, яғ ни

тү рінде берілсе, онда жә не функцияларын Эйлер формуласы бойынша

тү рінде жазып, алдың ғ ы жағ дайғ а келтіруге болады.