Ретті сызықты теңдеулер

3.1. Жоғ арғ ы ретті тең деулердің ең қ арапайымы жә не оң ай зерттелетіні – сызық ты тең деулер.

Белгісіз функция мен оның туындыларын сызық ты тү рде байланыстыратын тең деулерді сызық ты тең деулер деп татйды.

- ретті сызық ты тең деудің жалпы тү рі былай жазылады:

Мұ ндағ ы, - функциялары кейбір аралығ ында анық талғ ан нақ ты ү здіксіз функциялар.

Егер болса, онда соғ ан бө лу арқ ылы

(1)

тең деуін аламыз. Соң ғ ы тү рдегі тең деуді тең деудің келтірілген, не қ алыпты тү рі деп атайды. Мұ ндағ ы, функциясы бос мү ше деп аталынады. Егер ол нө лге тең болмаса, (1) тең деу біртексіз сызық ты тең деу деп, ал нө лге тең болса, біртекті сызық ты тең деу деп аталынады. (1) тең деудің сә йкес біртектісі былай жазылады:

(2)

Ә детте, (1) тең деудің сол жағ ын қ ысқ артып, былай белгілейді:

(3)

Сонда (1) жә не (2) тең деулерді былай жазуғ а болады:

жә не

Енгізілген (3) ө рнекті сызық ты дифференциалдық оператор деп атайды. Бұ л оператор дифференциалдау амалының сызық тығ ынан шығ атын тө мендегідей екі шартты қ анағ аттандырады:

Бұ лардың салдары ретінде тағ ы бір қ атынасты жазуғ а болады:

Бұ л шарттар дифференциалдық оператордың сызық тығ ын білдіреді.

3.2. Сызық ты тең деулердің ортақ екі қ асиетін келтірейік.

Тә уелсіз айнымалыны кейбір аралығ ында анық талғ ан рет ү здіксіз дифференциалданатын, бірінші туындысы нө лге тең емес функция арқ ылы жаң а тә уелсіз айнымалымен алмастырғ аннан тең деудің сызық тығ ы ө згермейді.

Шынында да, алмастыруын жасайық. Сонда

Осылай кез келген -ның сызық ты тү рде арқ ылы ө рнектелетінін кө реміз. Осы қ атынастарды (1) жә не (2) тең деулерге апарып қ ойсақ, қ айтадан сызық ты тең деулер аламыз.

2⁰. Белгісіз функцияны басқ а бір функциямен сызық ты тү рде алмастырғ аннан тең деудің сызық тығ ы ө згермейді.

Шынында да, айталық, тү рінде алмастыру жасалсын. Мұ ндағ ы, жә не функциялары аралығ ында анық талғ ан рет ү здіксіз дифференциалданатын функциялар болсын.

Сонда

Осы туындыларды (1) тең деуге апарып қ ойсақ, қ айтадан біртексіз сызық ты тең деу аламыз.

Ал (2) тең деуге апарып қ ойсақ, онда біртекті тең деуіміз біртексіз сызық ты тең деуге айналады. Біртектілікті сақ тау ү шін тү ріндегі біртекті алмастыру алу керек.

Сызық ты тең деулердің бір ерекшелігі – олардың бастапқ ы шартты қ анағ аттандыратын шешімі бар болу ү шін бір-ақ шарттың орындалуы жеткілікті.

Дә лірек айтсақ, мынандай тұ жырым орын алады.

Теорема-1. Егер сызық ты тең деудің коэффициенттері мен бос мү шесі кейбір аралығ ында анық талғ ан ү здіксіз функциялар болса, онда оның бастапқ ы шартты қ анағ аттандыратын жалғ ыз ғ ана шешімі болады жә не ол шешім аралығ ының ө н бойында анық талады.

Бұ л тұ жырымды дә лелдеу қ иындық туғ ызбайды.