Реті төмендетілетін теңдеулер

2.1. Жоғ арғ ы ретті дифференциалдық тең деулерді айқ ындалмағ ан

(1)

тең деу тү рінде, немесе, жоғ арғ ы туындысы бойынша шешілген

(2)

тең деу тү рінде жазуғ а болатыны айтылғ ан.

Енді осы тең деулердің ретін қ андай жағ дайларда тө мендетіп, интегралдауды оң айлатуғ а болатынын кө рсетейік.

Тә уелсіз айнымалы айқ ын тү рде кірмеген тең деу:

(3)

Бұ л жағ дайда тә уелсіз айнымалы ү шін -ты аламыз да, тү рінде жаң а белгісіз енгіземіз.

Сонда

Бұ дан

тү ріндегі тең деу аламыз. Бұ л -ретті тең деу. Егер осы тең деуді интегралдау мү мкін болса, онда оның жалпы интегралы

немесе

тү рінде болады. Соң ғ ы қ атынас бірінші ретті тең деу. Сондық тан, оның аралық интегралы берілген (3) тең деудің жалпы интегралы болады.

Белгісіз функция мен оның алғ ашқ ы туындылары кірмейтін тең деу:

(4)

Бұ л жағ дайда белгілеуін енгізсек,

(5)

тү ріндегі - ретті тең деу аламыз. Демек, (4) тең деудің реті - бірлікке тө мендеді. Егер соң ғ ы тең деудің

тү ріндегі аралық интегралы белгілі болса, онда берілген тең деудің жалпы интегралы

(6)

тең деуді интегралдау арқ ылы табылады.

Белгісіз функция мен оның туындылары бойынша біртекті тең деу.

Егер (1) тең деудегі функциясы ү шін

шарты орындалса, онда ол функция дә режелі біртекті функция деп аталынады да, сә йкес тең деу функция мен оның туындылары бойынша біртекті деп аталынады. Бұ л жағ дайда алмастыруы арқ ылы тең деудің реті бір ретке тө мендетіледі. Шынында да,

Бұ л ө рнектерді (1) тең деуге қ ойсақ,

тү ріндегі -ретті тең деу аламыз. Егер бұ л тең деудің

тү ріндегі жалпы шешімін таба алсақ, онда берілген тең деудің жалпы шешімі

тең деуін интегралдаудан алынады.

Тең деудің сол жағ ы басқ а бір функцияның туындысы болса, онда тең деудің реті бір ретке тө мендейді. Шынында да,

болғ андық тан, бір аралық интеграл белгілі:

,

яғ ни бастапқ ы тең деудің реті бір ө лшемге кеміді.

Жалпыланғ ан біртекті тең деу, яғ ни функциясы ү шін

шарты орындалатын тең деу. Бұ л жағ дайда алмастыруы арқ ылы тең деудің ретін бірге кемітуге болады.