Туынды бойынша шешілмеген теңдеулер

5.1. Туынды бойынша шешілмеген тең деулердің жалпы тү рін мынандай ө рнекпен жазуғ а болады:

(1)

мұ ндағ ы, F – кейбір облысында анық талғ ан ү здіксіз функция.

Анық тама-1. аралығ ында анық талғ ан функциясы (1) тең деудің шешімі деп аталады, егер мынандай ү ш шарт орындалса:

1) функциясы аралығ ының барлық нү ктесінде дифференциалданатын болса,

2)

3)

Туынды бойынша шешілген тең деу сияқ ты, туынды бойынша шешілмеген тең деу де ХОУ жазық тығ ында бағ ыттар ө рісін айқ ындайды. Бірақ, бұ л ө ріс жалғ ыз болмауы мү мкін. Себебі, (1) тең деуді у¢ бойынша шешкенде оның бірнеше тү бірлері болуы мү мкін: . Жалпы жағ дайда, (1) тең деуді у¢ бойынша шешу мү мкін бола бермейді. Бірақ, басқ а айнымалылары бойынша шешілуі мү мкін. Мұ ндай жағ дайда параметр енгізу ә дісін қ олданады.

Айталық, (1) тең деу у бойынша шешілген делік: . Бұ л жағ дайда параметрін енгізу арқ ылы

(2)

тең деуін аламыз. Осы қ атынастан толық дифференциал алып, алмастырудағ ы байланысын ескерсек, онда мынандай тең деу аламыз:

(3)

немесе

(4)

Бұ л тең деу бұ рын қ арастырылғ ан тең деулердің қ атарына жатады. Егер оның жалпы интегралы белгілі болса, онда

(5)

тү ріндегі қ атынастары (1) тең деудің интегралдық қ исығ ын анық тайды.

Дә л осы сияқ ты, (1) тең деу бойынша шешілген болса: , онда параметрін енгізіп, толық дифференциал алатын болсақ:

(6)

тең деуін аламыз. Бұ л тең деу де симметриялы тү рге келтіріледі:

(7)

Егер соң ғ ы тең деудің шешімі белгілі болса, онда

(8)

қ атынастары (1) тең деудің жалпы шешімінің параметрлік тү рін береді.

5.2. Параметр енгізу ә дісінің ерекшелігін байқ ау ү шін Лагранж тең деуін қ арастырайық:

(9)

Бұ л тең деуге () алмастыруын жасап, толық дифференциалын табайық;

.

Осыдан

немесе

(10)

тү ріндегі сызық тық біртексіз тең деу аламыз. Тұ рақ ты санды вариациялау ә дісімен тең деудің жалпы шешімін оң ай жазамыз:

Соң ғ ы қ атынасқ а бастапқ ы тең деудің параметрлік тү рін қ осып жазсақ, жалпы шешімнің параметрлік тү рін аламыз:

(11)

Егер болса, онда осы тең деудің нақ ты шешімдерін: , бастапқ ы тең деуге қ ойып,

(12)

тү ріндегі шешімдер аламыз. Бұ л шешімдер ерекше шешім болуы мү мкін. Енді осы Лагранж тең деуінің дербес тү рін қ арастырайық:

(13)

Бұ л тең деуді Клеро тең деуі деп атайды.

Жоғ ары айтылғ ан ә діс бойынша белгілеуін енгізейік:

(14)

Осыдан толық дифференциал тауып, қ атынасын пайдалансақ, онда

тең дігін аламыз. Ал бұ дан

(15)

Соң ғ ы тең деу екі тең деуге бө лінеді:

жә не (16)

Осыдан, егер болса, онда . Мұ ны бастапқ ы тең деуге апарып қ ойсақ,

(17)

тү ріндегі жалпы шешім аламыз.

Егер (16) тең деудің екіншісі орын алса, онда

(18)

тү ріндегі Клеро тең деуінің параметрлік ерекше шешімін аламыз.

5.3. Енді тұ йық тү рде интегралданатын тең деулерді келтірейік.

1⁰. (19)

Бұ л тең деудің тү рінде нақ ты шешімі болуы мү мкін: . Сонда қ атынасын интегралдап, ө рнегін табамыз. Осыдан: . Бұ л қ атынасты (19) тең деуге апарып қ ойсақ,

(20)

тү ріндегі жалпы интеграл аламыз.

Мысал-1. тең деуінің жалпы интегралы мына тү рде жазылады:

2⁰. (21)

Бұ л тең деуді бойынша шешуге мү мкіншілік болмаса, онда жаң а параметрді екі қ атынаспен енгізу ың ғ айлы: . Ал болғ андық тан, мынандай тең деу жазамыз:

Бұ дан

Осы ө рнектің қ асына -тың параметрлік тү рін қ осып жазсақ:

(22)

тү ріндегі параметрлік шешімді аламыз.

Мысал-2. тең деуінің шешімін табу ү шін тү рінде жаң а параметр енгіземіз. Сонда: болатынын берілген тең деуден кө реміз.

Осыдан,

Сонда

функциялары берілген тең деудің параметрлік тү рдегі жалпы шешімін береді.

3⁰. (23)

Бұ л тең деуге де параметрді екі қ атынаспен енгізу ың ғ айлы: Бұ дан:

Соң ғ ы қ атынасты интегралдасақ, онда

ө рнегін аламыз. Бұ ғ ан у -тың параметрлік тү рін қ осып жазсақ,

(24)

тү ріндегі параметрлік шешім аламыз.

Мысал-3. тең деуінің жалпы шешімін табу ү шін: , алмастыруларын пайдаланамыз. Сонда:

Сондық тан,

тең діктері берілген тең деудің параметрлік тү рдегі жалпы шешімі болады.

4⁰. Жалпы жағ дайда қ арастырайық:

(25)

Егер бұ л тең деу екі параметрмен ө рнектеледі деп есептесек, онда тең деуді туынды бойынша шешілген тү рге келтіруге болады.

Айталық,

(26)

функциялары екі u жә не v параметрлерімен анық талғ ан болсын. Бұ л функциялардың кү рделі функция тү рінде толық дифференциалдарын тауып, тең дігіне қ оятын болсақ, онда

қ атынасын аламыз. Бұ дан сә йкес мү шелерін жинастырып,

(27)

тү ріндегі тең деуге келеміз. - (27) тең деудің жалпы шешімі болса, онда (25) тең деудің параметрлік жалпы шешімі былай жазылады:

(28)

Кері алмастыру арқ ылы берілген тең деудің жалпы интегралын табуғ а болады.