Негізгі түсініктер және анықтамалар. Дифференциалдық теңдеу деп тәуелсіз айнымалыны, белгісіз функцияны және оның туындыларын байланыстыратын теңдікті атайды

Дифференциалдық тең деу деп тә уелсіз айнымалыны, белгісіз функцияны жә не оның туындыларын байланыстыратын тең дікті атайды. Егер белгісіз функция тек бір ғ ана тә уелсіз айнымалыдан тә уелді болса, ондай тең деуді жә й дифференциалдық тең деу деп, ал бірнеше аргументтен тә уелді болса, ондай тең деуді дербес туындылы дифференциалдық тең деу деп атайды. Тең деуге кіретін туындылардың ең жоғ арғ ы реті дифференциалдық тең деудің реті деп саналады.

Жә й дифференциалдық тең деудің туынды бойынша шешілмеген тү рі мынадай қ атынаспен беріледі:

(1)

Мұ ндағ ы, -тә уелсіз айнымалы, -белгісіз функция, ал - оның туындылары.

Ә детте, тең деудің ең жоғ арғ ы реттегі туындысы бойынша шешілген тү рі қ арастырылады. Ол былай жазылады:

(2)

Дербес туындылы дифференциалдық тең деулерді тә уелсіз айнымалылардың санына байланысты ә ртү рлі етіп жаза беруге болады. Солардың ішінен екі тә уелсіз айнымалығ а байланысты тү рін мына тү рде жазуғ а болады:

(3)

Мұ ндағ ы, – тә уелсіз айнымалылар, - белгісіз функция, ал - дербес туындылар.

Егер белгісіз функциялар бірнешеу болса, онда сол функциялар санына байланысты дифференциалдық тең деулер жү йесі қ арастырылады.

Дифференциалдық тең деулердің шешімін табуды интегралдау деп атайды.

Жә й дифференциалдық тең деудің шешімінің жазық тық тағ ы графигін интегралдық қ исық деп атайды. Дербес туындылы дифференциалдық тең деудің шешімінің кең істіктегі геометриялық кескінін интегралдық бет деп атайды.

1.2. Біз бұ л тарауда бірінші ретті жә й дифференциалдық тең деулерді қ арастырамыз жә не осы тең деудегі тә уелсіз айнымалыны нақ ты деп есептейміз. Мұ ндай тең деудің туынды бойынша шешілмеген тү рі тө мендегі қ атынаспен жазылады:

(4)

Мұ нда х -тә уелсіз айнымалы, –белгісіз функция, -туынды, ал F -берілген функция. Осы тең деудің туынды бойынша шешілген тү рі былай жазылады:

(5)

Мұ ндағ ы, -жазық тық тағ ы кейбір D облысында ү здіксіз бірмә нді анық талғ ан функция деп есептелінеді.

Нақ ты сандар осінде -аралығ ын қ арастырайық. Бұ л аралық тұ йық та, ашық та, ақ ырлы немесе ақ ырсыз да болуы мү мкін. Соң ғ ы жағ дайда болуы мү мкін.

Анық тама-1. аралығ ында анық талғ ан функциясы (5) тең деудің шешімі деп аталады, егер ол мынандай ү ш шартты қ анағ аттандырса:

1) функциясы аралығ ының барлық нү ктесінде

дифференциалданатын болса;

2) ;

3) .

Ескерту-1. Егер аралығ ы тұ йық немесе жартылай тұ йық

болса, онда шешімнің сә йкес оң жақ тық немесе солжақ тық туындылары бар болуы шарт.

Ескерту-2. функциясы D облысында ү здіксіз болғ андық тан, функциясы аралығ ында ү здіксіз болады.

Ескерту-3. Шешімнің анық талу облысының байланысты жиын

болуы қ ажетті шарт.

Мысалы, функциясы тең деуінің шешімі бола алмайды, ө йткені болғ анда анық талмағ ан. Бұ л жерде D облысы бү кіл ХОУ жазық тығ ы бола тұ рып, екінші шарт орындалмайды. Бірақ, функциясы жә не аралық тарында шешім болады.

Кейбір жағ дайларда (5) тең деумен қ атар оның аударылғ ан тү рі де қ арастырылады:

(6)

Бұ л тең деу функциясы D облысының кейбір нү ктесінің жақ ын аймағ ында шексіздікке айналып жататын жағ дайда қ арастырылады.

Егер шексіздікке ешқ андай нү ктеде жақ ындамаса, онда (5) жә не (6) тең деулердің шешімдері, яғ ни олардың интегралдық қ исық тары бір болады. Бұ дан шығ атын қ орытынды: (5) тең деудегі айнымалы х жә не у -тің кез келгенін тә уелсіз айнымалы деп қ арастыруғ а болады да, екіншісін соғ ан тә уелді функция деп алуғ а болады.

Сондық тан кө п жағ дайда (5) тең деуді оның симметриялық тү рінде жазады:

M(x, y)dx+N(x, y)dy=0 (7)

Мұ ндағ ы M(x, y) жә не N(x, y) функцияларын кейбір D облысында анық талғ ан жә не ү здіксіз деп есептейміз. Егер D облысындағ ы бір (х₀, у₀) нү ктесінде

M(х₀, у₀)=N(х₀, у₀)=0 (8)

болса, онда ол нү ктені ерекше нү кте деп атайды.

(7) тең деуді (5) жә не (6) тү рге келтірсек:

немесе (9)

тү рінде жазамыз. Ал соң ғ ы (9) қ атынасты мына тү рде жазуғ а болады:

. (10)

Осы (10) тең деуді де дифференциалдық тең деудің симметриялық тү рі деп атайды.

1.3. Жоғ арыда келтірілген (5) дифференциалдық тең деуге геометриялық тү сініктеме беруге болады. Бұ л тең деудің шешімі ХОУ жазық тығ ындағ ы D облысында кейбір қ исық ты анық тайды. Осы D облысының кез келген бір (х₀, у₀) нү ктесін алсақ, онда тең деу бойынша ол нү ктеде тең дігін аламыз. Ал туындының геометриялық мағ ынасы бойынша – белгілі бір нү ктедегі туынды сол нү ктеде функцияғ а жү ргізілген жанаманың х осінің оң бағ ытымен жасайтын бұ рыштың тангенсіне тең. Сондық тан ә рбір нү ктеге сол жанамамен бағ ыттас бірлік вектор сә йкес қ ойсақ, онда берілген дифференциалдық тең деу D облысында векторлар ө рісін анық тайды. Осы ө рісті бағ ыттар ө рісі деп атайды. Тең деудің интегралдық қ исығ ының D облысында жү ргізуге болатын басқ а қ исық тардан бір айырмасы – оның кез келген нү ктесіне жү ргізілген жанаманың бағ ыты сол нү ктедегі ө ріс бағ ытымен беттесіп жатуы. Демек, геометриялық тұ рғ ыдан дифференциалдық тең деуді интегралдау дегеніміз кез келген нү ктесіне жү ргізілген жанамасының бағ ыты осы нү ктедегі ө ріс бағ ытымен беттесіп жататын қ исық ты табу болып саналады.

Егер тең деудің оң жағ ы (х₀, у₀) нү ктесінде тү ріндегі анық талмағ андық болса, онда бұ л нү ктеде ө ріс анық талмағ ан деп есептеледі. Бірақ бұ дан бұ л нү ктеге ұ мтылатын интегралдық қ исық болмайды деген ұ ғ ым тумауы керек.

Берілген тең деудегі функциясы ү здіксіз болғ андық тан, бағ ыттар ө рісі де ү здіксіз болады, яғ ни жақ ын жатқ ан нү ктелердегі векторлардың бағ ыттары да бір-біріне жақ ын болады. Оның ү стіне функциясы бірмә ндес болғ андық тан, ол тең деудің интегралдық қ исық тары бірін бірі кесіп ө тпейді, бірақ жанасуы мү мкін.

Барлық нү ктесінде ө рістің бағ ыты бірдей болатын сызық ты дифференциалдық тең деудің изоклинасы (біркелкі иілу сызығ ы) деп атайды. Бұ л сызық тар

(11)

тең деуі арқ ылы анық талады.

1.4. Дифференциалдық тең деудің шешімдері ә детте кез келген тұ рақ ты санғ а байланысты болады. Сондық тан да дифференциалдық тең деудің шешімдері шексіз жиын қ ұ райды. Мысалы, тең деуінің шешімін тү рде жазуғ а болады. Мұ ндағ ы, С – кез келген тұ рақ ты сан. Осы С санын ө згерте отырып, ә ртү рлі параболалар жиынын аламыз.

Практикалық есептерді шешкенде тең деудің барлық шешімдерін табу емес, белгілі бір шарттарды қ анағ аттандыратын шешімді табу талап етіледі. Осындай есептің бір тү рі Коши есебі деп аталады. Ол былай қ ойылады: берілген (5) тең деудің барлық шешімдерінің арасынан тә уелсіз айнымалының берілген мә нінде берілген у₀ мә нін қ абылдайтын, яғ ни

(12)

шартын қ анағ аттандыратын шешімін табу керек. Қ ысқ аша бұ л есепті былай жазады:

(13)

Мұ ндағ ы, сандарын бастапқ ы мә ндер, ал (12) тең дікті бастапқ ы шарт деп атайды. Осығ ан байланысты Коши есебін бастапқ ы есеп дейді.

Коши есебіне геометриялық тү сініктеме беруге болады: (5) тең деудің барлық интегралдық қ исық тарының ішінен белгілі бір нү ктесі арқ ылы ө тетінін табу керек.

Егер (5) тең деудегі тә уелсіз айнымалы -ты уақ ыт деп есептесек, ал тең деудің шешімі кейбір М нү ктесінің қ озғ алыс заң ын ө рнектейді десек, онда Коши есебіне механикалық тү сінік беруге де болады: барлық қ озғ алыстардың ішінен бастапқ ы уақ ытта белгілі бір қ алыпта тұ рғ ан нү ктенің кейінгі қ озғ алысын табу керек.

Коши есебінің мақ саты берілген шартты қ анағ аттандыратын бір шешімді табу болғ андық тан, ол есептің шешімі қ ай кезде бар жә не жалғ ыз болады деген сұ рақ тың тууы орынды. Бұ л сұ рақ қ а жауап беретін теоремаларды келесі бір бө лімде келтіреміз.

Жоғ арыда айтылғ андай, дифференциалдық тең деуді интегралдау нә тижесінде кез келген тұ рақ ты саннан тә уелді функция аламыз:

(14)

Мұ ндай шешімдер жиынтығ ын жалпы шешім деп атайды. Жалпы алғ анда (14) қ атынастан кез келген Коши есебінің шешімін таба аламыз. Ол ү шін бастапқ ы мә ндерге сә йкес келетін С санын табу керек болады. Осы мақ сатпен жалпы шешімнің тө мендегідей анық тамасы қ абылданғ ан.

Анық тама-2. Айталық, облысы (5) тең деудің Коши есебі шешімінің жалғ ыздық шарты орындалатын облыс болсын. Ө зінің аргументтерінің кейбір облысында анық талғ ан жә не х бойынша ү здіксіз дифференциалданатын (14) функция (5) тең деудің жалпы шешімі деп аталады, егер ол тө мендегідей екі шартты қ анағ аттандырса:

1) D облысында (14) тең дік С саны бойынша шешілсе, яғ ни

(15)

2) тұ рақ ты санның (15) ө рнекпен анық талғ ан кез келген мә нінде (14) функция (5) тең деудің шешімі болса.

Бұ л анық тамадан Коши есебінің кез келген бастапқ ы мә нді қ анағ аттандыратын шешімін табуғ а болады. Шынында да, жалпы шешім (14) ө рнекке бастапқ ы жә не сандарын қ ойсақ, онда

тең дігін аламыз. Анық тама бойынша бұ л ө рнек С саны бойынша шешіледі: . Осы табылғ ан мә нді бастапқ ы (14) қ атынасқ а қ ойсақ,

ө рнегін аламыз. Бұ л іздеген шешіміміз болады.

Егер (14) ө рнектің орнына мынадай қ атынасты

(16)

алсақ, мұ ндағ ы - берілген тұ рақ ты сан деп, ал -ты кез келген сан деп ұ йғ арсақ, онда (16) қ атынасты Коши тү ріндегі жалпы шешім деп атайды.

Кез келген нү ктесінде Коши есебінің жалғ ыздық шарты орындалатын шешім дербес шешім деп аталады да, кез келген нү ктесінде жалғ ыздық шарты орындалмайтын шешім ерекше шешім деп аталады. Ерекше шешімнің кез келген нү ктесі арқ ылы кем дегенде екі шешім ө теді. Дербес жә не ерекше шешімдерді басқ аша да анық тауғ а болады: жалпы шешімдегі кез келген тұ рақ ты С санының белгілі бір мә ніндегі шешімді дербес шешім деп, ал сол санның кез келген шектелген немесе шексіз мә ндерінде алынбайтын шешімді ерекше шешім деп атайды.

Дифференциалдық тең деуді интегралдағ андағ ы жалпы шешім айқ ындалмағ ан тү рде алынатын болса, яғ ни

(17)

тү рінде берілсе, онда осы (17) ө рнекті тең деудің жалпы интегралы деп атайды.

Егер соң ғ ы қ атынас

(18)

тү рінде берілсе, ондағ ы функциясы тең деудің интегралы деп аталады да, (18) қ атынас тең деудің бірінші интегралы деп аталады. Осындағ ы функциясының бір қ асиетін айта кету керек: белгісіз у -тің орнына берілген (5) тең деудің кез келген шешімін қ ойғ анда ол тұ рақ ты санғ а айналады. Ә детте, интегралды осы қ асиет бойынша да анық тайды: D облысында анық талғ ан жә не дифференциалданатын, тұ рақ тығ а ө здігінен келтірілмейтін, ал (5) тең деудің кез келген шешімінің бойымен алынғ анда тұ рақ ты санғ а тепе-тең функциясын (5) тең деудің интегралы деп атайды.

Кейде дифференциалдық тең деудің интегралының басқ аша анық тамасы да қ олданылады: функциясы берілген (5) тең деудің интегралы деп аталады, егер оның осы тең деу бойынша алынғ ан толық дифференциалы нө лге тең болса, яғ ни

(19)

Бұ л анық тамалар бір-біріне мағ ыналас тү сініктер. Сондық тан оларды алмастырып қ олдана беруге болады.