Бірінші ретті сызықты теңдеулер

3.1. Белгісіз функция мен оның туындысы сызық ты тү рде, яғ ни бірінші дә режеде байланысқ ан тең деуді сызық ты дифференциалдық тең деу деп атайды. Сызық ты тең деудің келтірілген тү рін қ арастырайық:

(1)

Мұ нда p(x), q(x) функциялары кейбір < a, b> аралығ ында анық талғ ан жә не ү здіксіз деп есептелінеді. Егер q(x)¹ 0 болса, онда (1) тең деуді біртексіз сызық ты тең деу деп, ал q(x)=0 болса, онда біртекті сызық ты тең деу деп атайды:

(2)

Кө бінесе (2) тең деуді (1) тең деудің сә йкес біртектісі деп атайды.

Біртекті (2) тең деу айнымалылары ажыратылатын тең деу. Екі жағ ын у -ке бө ліп, мынандай тең деу аламыз:

Осы қ атынасты интегралдасақ:

ө рнегін аламыз. Логарифмсіз жазсақ,

(3)

тү ріндегі (2) тең деудің жалпы шешімін аламыз. Егер y=0 жағ дайды қ арастырсақ, ол осы жалпы шешімнің С=0 болғ андағ ы мә ніне сә йкес келетін шешім. Сондық тан y=0 – дербес шешім. Оны нө лдік немесе тривиaл шешім деп те атайды жә не ол барлық уақ ытта бар шешім.

Біртекті (2) тең деудің (3) жалпы шешімін Коши тү рінде жазсақ, былай жазылады:

(4)

мұ нда х₀ -тұ рақ ты сан, ал у ₀ – кез келген сан деп есептелінеді.

Біртекті тең деу шешімдерінің екі қ асиетін атап ө тейік:

1⁰. Егер у ₁ жә не у ₂ функциялары (2) тең деудің шешімдері болса, онда олардың қ осындысы: у=у ₁+ у ₂ функциясы да сол тең деудің шешімі болады.

2⁰. Егер у ₁ функциясы (2) тең деудің шешімі болса, онда функциясы да (С – кез келген сан) сол тең деудің шешімі болады.

3.2. Енді берілген біртексіз (1) тең деуге оралатын болсақ, оның жалпы шешімін табу ү шін мынандай ә дістерді қ олдануғ а болады.

1⁰. Тұ рақ ты санды вариациялау ә дісі (Лагранж ә дісі).

Біртексіз (1) тең деудің жалпы шешімін біртекті (2) тең деудің жалпы шешімі – (3) тү рде іздейміз, бірақ мұ ндағ ы С санын х -қ а байланысты айнымалы функция деп есептейміз:

(5)

Осы функцияны (1) тең деуге апарып қ оялық:

.

Бұ дан

тең деуін аламыз. Енді осы тең деуді интегралдасақ, онда

(6)

ө рнегін аламыз. Мұ нда С ₀ – кез келген тұ рақ ты сан. Осы (6) ө рнекті (5) қ атынасқ а апарып қ ойсақ, онда біртексіз (1) тең деудің жалпы шешімін аламыз:

(7)

Соң ғ ы шешімді Коши тү рінде жазсақ, онда мынандай ө рнек аламыз:

(8)

мұ нда х ₀-тұ рақ ты сан, ал у₀ – кез келген сан деп есептейміз.

2⁰. Бернулли ә дісі.

Біртексіз (1)тең деудің шешімін y=u(x)v(x) тү рінде іздейміз. Сонда

(9)

Мұ ндағ ы, u(x) функциясын біртекті тең деудің шешімі тү рінде алсақ, онда (9) қ атынастан

тең деуін аламыз. Осыдан интегралдау арқ ылы

(10)

болатынын кө реміз. Мұ нда С – тұ рақ ты сан. Табылғ ан жә не функцияларының кө бейтіндісі y(x) функциясын беретін болғ андық тан,

,

яғ ни жалпы шешім (7) тү рге келеміз.

3⁰. Интегралдаушы кө бейткіш ә дісі (Эйлер ә дісі).

Берілген біртексіз (1) тең деудің екі жағ ын функциясына кө бейтіп, ық шамдап жазатын болсақ, онда мынандай қ атынас аламыз:

.

Осы қ атынасты интегрлдасақ:

,

ал бұ дан

.

Тағ ы да жалпы шешім – (7) тү рге келдік.

Жалпы, белгілі бір тең деудің шешімін іздегенде жоғ арыда келтірілген ә дістердің есептеу жолын қ айталамай-ақ, дайын (7) ө рнекті пайдалану керек.

3.3. Енді сызық ты тең деуге келтірілетін тең деулерді қ арастырайық.

Мына тү рдегі тең деуді

(11)

Бернулли тең деуі деп атайды. Егер n=0, не n=1 болса, онда бұ л тең деу сызық ты тең деуге айналады. Сондық тан, n¹ 0, 1 - жағ дайды қ арастырамыз. Бұ л жағ дайда

алмастыруын енгізсек, мынандай тең деу аламыз:

(12)

Бұ л сызық тық біртексіз тең деу. Оның жалпы шешіміндегі z –тың орнына –ты қ ойсақ, Бернулли тең деуінің жалпы шешімі алынады:

(13)

Бернулли тең деуіне кей жағ дайларда келтірілетін тең деудің біреуі Рикатти тең деуі:

(14)

Бұ л тең деу жалпы жағ дайда тұ йық тү рде интегралданбайды, бірақ оның бір дербес шешімі белгілі болса, онда ол Бернулли тең деуіне келтіріледі. Айталық, (14) тең деудің белгілі бір аралық тағ ы шешімі болсын. Рикатти тең деуіне алмастыруын енгізсек, онда

(15)

тү ріндегі Бернулли тең деуін аламыз. Ал бұ л тең деуді ө з кезегінде сызық ты тең деуге келетінін жоғ арыда кө рсеткенбіз.