Айнымалылары ажыратылатын теңдеулер

2.1. Берілген тең деудің шешімін сол тең деуге кіретін функциялар жә не олардың интегралы тү рінде ө рнектеуді тең деуді квадратура арқ ылы интегралдау деп атайды. Бұ л параграфта кейбір оң ай интегралданатын тең деулердің тү рлерін келтірейік.

1⁰. Тең деудің оң жағ ы белгісіз функцияғ а тә уелсіз:

(1)

Мұ нда f(x) функциясы берілген, < a, b> аралығ ында ү здіксіз деп есептелінеді. Бұ л тең деудің жалпы шешімін табу ү шін одан анық талмағ ан интеграл алсақ жеткілікті:

(2)

Бұ л ө рнек Коши тү рінде былай жазылады:

(3)

Мұ нда х₀ – берілген сан деп, у₀ – кез келген сан деп есептелінеді.

2⁰. Тең деудің оң жағ ы белгісіз функцияғ а ғ ана тә уелді:

(4)

Мұ нда f(y) функциясы кейбір < с, d> аралығ ында ү здіксіз деп есептелінеді жә не осы аралық та нө лге айналмасын. Онда бұ л тең деуді аударып жазуғ а болады:

(5)

Соң ғ ы тең деудің жалпы шешімін табу ү шін оның екі жағ ын dy -ке кө бейтіп, анық талмағ ан интеграл алсақ жеткілікті:

(6)

немесе Коши тү рінде:

(7)

Мұ нда у₀ – тұ рақ ты сан деп, ал х₀ – кез келген сан деп есептелінеді.

3⁰. Жоғ арыда келтірілген тең деулер айнымалылары ажырайтын тең деулер қ атарына жатады. Мұ ндай тең деулердің жалпы тү рі былай жазылады:

(8)

Осы тең деуде f₂(y) жә не f₃(x) функциялары берілген облыста нө лге тең болмаса, онда тең деудің екі жағ ын f₂(y)·f₃(x) кө бейтіндісіне бө лсек, мынандай қ атынас аламыз:

(9)

Бұ л келтіру айнымалыларды ажырату тә сілі деп аталады. Жалпы, айнымалыларды ажырату деп dx -тың алдында тек х -қ а тә уелді, ал dy -тың алдында тек у -ке тә уелді функциялардың тұ руын қ амтамасыз етуді айтады.

Соң ғ ы тең деудің жалпы шешімін табу ү шін екі жағ ынан анық тaлмaғ ан интеграл алсақ жеткілікті:

(10)

немесе Коши тү рінде:

(11)

4⁰. Айнымалылары ажырайтын тең деулер қ атарына басқ а да тең деулерді жатқ ызуғ а болады. Олар кейбір алмастырулар арқ ылы оң ай интегралданады. Солардың бірі:

(12)

тү ріндегі тең деулердің алмастыруы арқ ылы айнымалылары оң ай бө лінеді. Шынында да, соң ғ ы алмастырудан туынды тауып, тең деуге қ оятын болсақ, мынандай қ атынастар аламыз:

немесе

Соң ғ ы қ атынастан:

,

яғ ни айнымалылар бө лінді. Осыдан интеграл алсақ, онда жалпы интегралды мына тү рде жазуғ а болады:

(13)

5⁰. Екінші бір келетін тең деулер тү рі – біртекті тең деулер. Ә детте, біртекті тең деу деп берілген тең деудің оң жағ ындағ ы функциясы кез келген s саны ү шін

(14)

тең дігін қ анағ аттандыратын жағ дайды айтады. Мұ нда m -cаны біртектіліктің дә режесі деп аталады.

Егер деп алсақ, онда болады да, тең деуді былай жазуғ а болады:

(15)

Мұ ндай тең деулердің алмастыруы арқ ылы айнымалыларын бө луге болады:

Осыдан

тең деуін аламыз. Егер , онда

Бұ дан интегралдау арқ ылы

ө рнегін аламыз. Логарифмсіз жазатын болсақ, онда

(16)

тү ріндегі қ атынасты аламыз. Соң ғ ы интегралдың алғ ашқ ы функциясы айқ ындалса, ондағ ы z –тың орнына ө рнегі қ ойылуы керек.

6⁰. Мына тү рдегі тең деулер

(17)

біртекті тең деуге келтірілетін тең деулер деп есептелінеді. Мұ нда алдымен c₁ жә не c₂ сандарынан қ ұ тылуғ а болады. Ол ү шін екі тү зудің

қ иылысу нү ктелерін тауып, координат жү йесінің бас нү ктесін сол нү ктеге кө шіру керек. Айталық, осы екі тү зудің қ иылысу нү ктесі болсын. Бұ л жағ дайда

алмастыруларын енгізсек, онда берілген тең деу біртекті тең деуге келеді:

(18)

Бұ л тең деу алдындағ ы тең деу сияқ ты, алмастыруы арқ ылы оң ай интегралданады.

Егер жоғ арыда кө рсетілген екі тү зу қ иылыспаса, онда қ атынасы орындалады да, бұ л жағ дайда алмастыруы арқ ылы тең деудің айнымалылары оң ай бө лінеді.