Толық дифференциалды теңдеулер

4.1. Симметриялық тү рде берілген

(1)

дифференциалдық тең деудің сол жағ ы кейбір екі айнымалы функциясының толық дифференциалына тең болса, яғ ни

(2)

онда (1) тең деуді толық дифференциалды тең деу деп атайды. Соң ғ ы (2) тең дікті пайдалансақ, (1) тең деуді былай жазуғ а болады:

(3)

Бұ дан

(4)

ө рнегі (1) тең деудің жалпы интегралы болатынын кө реміз. Сондық тан осы функциясын табу жолын келтірейік.

Ә детте, берілген тең деудің толық дифференциалдылығ ын бірден байқ ау мү мкін емес. Сондық тан ондай жағ дайды анық тайтын белгіні келтірейік.

Айталық, (1) тең деудегі жә не функциялары кейбір D облысында ө зінің дербес туындылары жә не мен бірге ү здіксіз функциялар болсын.

Теорема. Берілген (1) тең деу толық дифференциалды тең деу болу ү шін бір байланысты D облысында

(5)

тепе-тең дігінің орындалуы қ ажетті жә не жеткілікті.

Дә лелдеуі. Қ ажеттілігі. Айталық, (1) тең деудің сол жағ ы кейбір функциясының толық дифференциалы болсын:

(6)

Бұ л тепе-тең діктен мына қ атынастарды аламыз:

(7)

Соң ғ ы қ атынастардың біріншісін у бойынша, екіншісін х бойынша дифференциалдасақ,

(8)

тепе-тең діктері шығ ады. Шарт бойынша тепе-тең діктердің оң жақ тары ү здіксіз. Ендеше, олардың сол жақ тары да ү здіксіз. Ал ү здіксіз функцияның аралас дербес туындылары ө зара тең болады да,

(9)

тепе-тең дігі алынады.

Жеткіліктілігі. Айталық, (5) шарт орындалсын. Алдымен (7) қ атынастардың біріншісін қ анағ аттандыратын функциясын іздейік. Сол бірінші қ атынасты бойынша интегралдасақ, мынандай функция аламыз:

, (10)

мұ нда – тек у-ке байланысты кез келген функция жә не ол ү здіксіз дифференциалданатын функция болсын.

Енді осы функциясын (7) қ атынастардың екіншісі орындалaтындай етіп алайық, яғ ни

(11)

Бұ л жерде мына тең дікті кө рсете кетейік:

Сондық тан (11) қ атынас былай жазылады:

немесе

(12)

Осыдан

(13)

Осы табылғ ан функциясын (10) ө рнекке апарып қ оятын болсақ,

(14)

функциясын аламыз. Ал бұ л функцияны кез келген С санына тең естірсек, онда берілген (1) тең деудің жалпы интегралын аламыз:

(15)

Егер функциясын қ ұ руды (7) қ атынастардың екіншісінен бастасақ, онда (1) тең деудің жалпы интегралының тү рі мынандай болады:

(16)

Мысал-1. тең деуінің жалпы интегралын табу керек болсын.

Шешуі: ,

яғ ни .

Бұ л тең деу толық дифференциалды тең деу. (15) ө рнекті пайдаланып жалпы интегралды іздейміз. Мұ нда деп алайық. Сонда:

немесе

4.2. Кө п жағ дайда берілген (1) тең деу толық дифференциалды тең деу бола бермейді. Бұ л жағ дайда тең деуді қ олайлы бір функцияғ а кө бейту арқ ылы толық дифференциалды тең деуге келтіруге болады. Егер ондай функция табылып жатса, оны интегралдаушы кө бейткіш деп атайды. Интегралдаушы кө бейткішке кө бейткеннен ә депкі тең деудің жалпы шешімі ө згермейді.

Интегралдаушы кө бейткішті табу ү шін (1) тең деудің екі жағ ын белгісіз функциясына кө бейтіп, мына тең деуді аламыз:

(17)

Бұ л тең деу толық дифференциалды болу ү шін жоғ арыда кө рсетілген қ ажетті шартты жазайық:

. (18)

Бұ л тең дікті ашып жазсақ:

немесе

(19)

тең дігін аламыз. Бұ л тең деу – дербес туындылы дифференциалдық тең деу. Оны шешу кө п жағ дайда (1) тең деуді шешуден оң айғ а тү спейді. Ол тек кейбір дербес жағ дайларда ғ ана интегралданады.

Ә детте, интегралдық кө бейткіш тек х -қ а, не у -ке ғ ана байланысты тү рде ізделінеді. Сондық тан дербес туындылы (19) тең деу жә й дифференциалдық тең деуге айналады да, оның шешімін табу оң айланады.

Жалпы, интегралдық кө бейткішті іздеу жолы ө з алдына бір мә селе. Оғ ан біз тоқ талмаймыз.