Тұрақты коэффициентті сызықты жүйелерді интегралдау

4.1. Коэффициенттері тұ рақ ты біртекті сызық ты жү йені қ арастырайық:

(1)

Мұ нда - тұ рақ ты нақ ты квадрат матрица.

Бұ л жү йенің шешімін Эйлер ә дісі бойынша

(2)

тү рінде іздейміз. Мұ нда -белгісіз сан, -нө лдік емес белгісіз тұ рақ ты вектор.

Осы (2) ө рнекті (1) жү йеге қ ойсақ,

(3)

тү ріндегі векторлық алгебралық тең деу аламыз. Бұ л тең деуді ашып жазсақ,

(4)

тү ріндегі сызық ты тең деулер жү йесін аламыз. Жү йенің нө лдік емес шешімі бар болуы ү шін оның анық тауышы нө лге тең болуы керек:

(5)

немесе

(6)

Осы тең деу берілген жү йенің сипаттаушы тең деуі деп аталады. Оның тү бірлері матрицасының меншікті сандары (мә ндері), ал ә рбір меншікті санғ а сә йкес векторын матрицасының меншікті векторы деп атайды.

Меншікті сандардың тү рлеріне байланысты фундаменталь матрица ә ртү рлі болады.Сол жағ дайларды қ арастырайық.

Айталық, меншікті сандар ә ртү рлі нақ ты сандар болсын: . Осындағ ы белгілі бір меншікті санына сә йкес векторының координаттары (4) жү йеден табылады. Ол ү шін -ның орнына -ді қ ою керек. Егер , ал деп алсақ, онда -ге сә йкес шешім

(7)

тү рінде жазылады. Сондық тан, бұ л жағ дайда фундаменталь матрица былай жазылады:

(8)

Бұ л матрицаның анық тауышы нө лге тең емес, ө йткені оның ә рбір бағ анасы ө зара тә уелсіз. Сондық тан, жалпы шешім

(9)

тү рінде жазылады немесе матрица тү рінде

(10)

Мұ ндағ ы, -бір бағ аналы тұ рақ ты матрица.

Айталық, - сипаттаушы тең деудің жә й тү бірі болсын. Онда оның тү йіндесі саны да сол тең деудің тү бірі болады. Бұ л жағ дайда сә йкес шешім

(11)

тү рінде жазылады. Соң ғ ы қ атынастың нақ ты жә не жорамал бө ліктерін ажыратайық:

Жү йенің коэффициенттері нақ ты болғ андық тан, комплекс шешімнің нақ ты жә не жорамал бө ліктері ө з алдарына нақ ты шешімдер болып табылады. Сондық тан,

(12)

функциялары берілген жү йенің нақ ты шешімдері болады. Бұ л шешімдер ө зара сызық ты тә уелсіз.Тү йіндес тү бірі жаң а тә уелсіз шешімдер тудырмайды. Демек, бір пар комплексті тү бірге ө зара тә уелсіз екі нақ ты шешім сә йкес келеді. Олар ө зара сызық ты тә уелсіз болғ андық тан, фундаменталь шешімдер жү йесіне кіреді. Осы сияқ ты, барлық тү бірлер ү шін нақ ты шешімдерді қ ұ рып шығ уғ а болады. Олардың сызық ты комбинациясы жү йенің жалпы шешімін береді.

Сипаттаушы тең деудің тү бірлерінің кейбіреулері еселікті тү бірлер болатын жағ дайды қ арастырайық.

Айталық, -саны - еселікті тү бір болсын. Бұ л тү бірге бір немесе бірнеше меншікті векторлар сә йкес келуі мү мкін. Олардың саны жалпы алғ анда -дан аспайды. Сондық тан, (2) формула бойынша анық талатын шешімдердің саны -дан кем болуы мү мкін. Осы жетпей жатқ ан шешімдерді толық тыру ү шін тө мендегідей ә діс қ олданылады.

Айталық, векторы (1) жү йенің шешімі болсын.

- дифференциалдық оператор енгізу арқ ылы берілген жү йені координаттары бойынша ашып жазайық:

(13)

Бұ л сызық ты жү йенің анық тауышы . Ол -операторы бойынша дә режелі кө пмү шелік. Егер -ның орнына -ны қ ойсақ, ол сипаттаушы кө пмү шелікке айналады.

Қ ұ рылғ ан (13) қ атынасты анық тауышының алгебралық толық тауышы -ғ а кө бейтіп, -индексі бойынша қ осындыласақ,

(14)

тең деуін аламыз. Бұ л бойынша -ретті дифференциалдық тең деу. Оның сипаттаушы кө пмү шелігі (1) жү йенің сипаттаушы кө пмү шелігіне тең. Сондық тан, (5) тең деудің -еселікті тү біріне сә йкес келетін (1) жү йенің шешімінің -інші компоненті мына тү рде жазылады:

Мұ нда - тұ рақ ты сандар. Сонымен,

(15)

Бұ л шешімдегі тұ рақ ты сандарының бә рі бірдей еркін бола алмайды, ө йткені шешімінің компоненттері (13) қ атынас арқ ылы ө зара сызық ты байланысқ ан. Бұ л тұ рақ тылардың ішінде тә уелсіздерінің саны - тү бірінің еселігіне тең, яғ ни -ғ а тең. Осы еркін тұ рақ тыларды - деп белгілейік. (15) шешімді (1) жү йеге қ ойып, алдын ала - ғ а қ ысқ артып, -ның бірдей дә режелерінің коэффициенттерін тең естірсек, біртекті тең деулердің сызық ты жү йесін аламыз. Ондағ ы белгісіз тұ рақ тыларының саны . Оларды еркін тұ рақ тылары арқ ылы ө рнектесек, онда (15) шешімді былай жазуғ а болады:

(16)

Мұ ндағ ы, - векторларының компоненттері бойынша дә режелері - ден аспайтын кө пмү шеліктер қ ұ райды.

Сонымен, сипаттаушы тең деудің еселікті тү біріне тү ріндегі шешім сә йкес қ ойылды. Осы сияқ ты кез келген еселікті тү біріне де сә йкес шешім қ ұ рып шығ уғ а болады. Олардың жиыны берілген жү йенің фундаменталь шешімдер жү йесі болатынын кө рсету ү шін вронскианның нү ктесінде нө лге айналмайтынын кө рсетсе, жеткілікті (дә лірек, дә лелдеуді [5] оқ у қ ұ ралынан кө руге болады).

4.2. Тұ рақ ты коэффициентті біртексіз жү йені қ арастырайық:

(17)

Мұ нда , , - квадрат матрица. Оның сә йкес біртектісі:

(18)

жү йесінің жалпы шешімі элементар функциялар арқ ылы ө рнектелетіні ө ткен пунктте кө рсетілді. Жалпы жағ дайда біртексіз жү йенің жалпы шешімі тұ рақ тыларды вариациялау арқ ылы оң ай табылады.

Егер (17) жү йедегі вектор-функция квазикө пмү шелік тү рінде берілсе, онда жү йенің дербес шешімін анық талмағ ан коэффициенттер ә дісін қ олданып табуғ а болады. Табылғ ан дербес шешімді біртекті жү йенің жалпы шешімімен қ оссақ, берілген (17) жү йенің жалпы шешімін аламыз.

Айталық, біртексіз жү йе тө мендегідей тү рде берілсін:

(19)

Мұ ндағ ы, - дә режесі -нен аспайтын кө пмү шелікті вектор, яғ ни

, (20)

мұ ндағ ы - тұ рақ ты векторлар.

Бұ л жерде екі жағ дай қ арастырылады.

Резонанс емес жағ дай: саны матрицасының меншікті саны емес. Бұ л жағ дайда дербес шешім

(21)

тү рінде ізделінеді. Мұ нда - вектор:

(22)

мұ нда - белгісіз тұ рақ ты вектор.

Осы ө рнекті (19) тең дікке қ ойып, -ның ә ртү рлі дә режелерінің алдындағ ы коэффициенттерін тең естіреміз:

(23)

Осыдан

(24)

Мұ нда матрицасы ерекше емес. Сондық тан, (24) жү йеден сатылап барлық векторларын бірмә ндес тү рде анық тауғ а болады:

(25)

екінші тең деуден векторын, осылай барлық векторларды табамыз.

Резонанс жағ дай: саны матрицасының меншікті саны. Бұ л жағ дайда дербес шешім

(26)

тү рінде ізделінеді. Мұ нда - вектор-функция, оның ә рбір компоненті дә режесі -ден аспайтын кө пмү шелік.

Егер саны матрицасының еселікті меншікті саны болса, онда векторының компоненттерінің бойынша дә режелері сә йкес еселік кө рсеткішіне ө седі (толық дә лелдеуін [4] оқ у қ ұ ралынан кө руге болады).