Сызықты жүйенің орнықтылығы

4.1. тең деуден тұ ратын тұ рақ ты коэффициентті сызық ты біртекті жү йені қ арастырайық:

(1)

Бұ л жү йенің тең бе-тең дік қ алпы нү ктесінің орнық тылық, орнық сыздық шарттарын келтірейік.

Теорема-1. Егер матрицасының барлық меншікті сандарының нақ ты бө ліктері теріс болса, онда (1) жү йенің тең бе-тең дік қ алпы асимптотикалы орнық ты, ал егер сол меншікті сандардың ең болмағ анда біреуінің нақ ты бө лігі оң болса, онда тең бе-тең дік қ алып орнық сыз.

Дә лелдеуі. Айталық, - сандары матрицасының меншікті сандары болсын жә не . Бұ л жағ дайда Ляпунов функциясын қ ұ ру ү шін матрицасын алдын ала диагоналды дерлік тү рге келтіреміз. Алгебрадан белгілі, матрицасы ү шін кейбір матрицасын табуғ а болады жә не ол мынандай тең дікті қ анағ аттандырады:

Мұ нда , ал - матрицасының ә рбір элементі шартын қ анағ аттандырады.

(1) жү йе ү шін алмастыруын қ олдансақ,

(2)

жү йесіне келеміз. Осы жү йеге Ляпунов функциясын тө мендегідей тү рде алайық:

(3)

Бұ л функция нү ктесінің (немесе нү ктесінің) кез келген аймағ ында анық талғ ан оң таң балы. Енді оның туындысын есептейік:

Осындағ ы бірінші қ осындыны бағ аласақ,

тең сіздігін аламыз. Екінші қ осындыны бағ алайық:

Осыдан

(4)

Соң ғ ы қ атынастағ ы санын тең сіздігі орындалатындай етіп алсақ, онда функциясының анық талғ ан теріс таң балы болатынын кө реміз. Сондық тан, Ляпуновтың екінші теоремасы бойынша тең бе-тең дік қ алып асимптотикалы орнық ты.

Теореманың екінші бө лігіне келетін болсақ, кейбір меншікті санның нақ ты бө лігі оң болсын: . Бұ л санғ а сә йкес шешім

(5)

тү рінде жазылады. Мұ ндағ ы, - сә йкес меншікті вектор. Осыдан

(6)

болғ андық тан, шексіздікке ұ мтылғ анда нө лге ұ мтылмайды, яғ ни тең бе-тең дік қ алып орнық сыз.

Ескерту-1. Егер матрицасының меншікті сандарының нақ ты бө ліктері нө лге тең болып, қ алғ андарының нақ ты бө ліктері теріс болса, онда тең бе-тең дік қ алып орнық ты да, орнық сыз да болуы мү мкін. Егер таза жорамал санғ а сә йкес жордан шаршысының реті бірден аспаса, онда тең бе-тең дік қ алып орнық ты. Кері жағ дайда тең бе-тең дік қ алып орнық сыз.

Мысалы, меншікті саны таза жорамал сан болса, ал оғ ан екінші ретті жордан шаршысы сә йкес келсе, онда шешім

(7)

тү рінде жазылады. Мұ ндағ ы, - тұ рақ ты меншікті векторлар. Осыдан

егер ,

яғ ни тең бе-тең дік қ алып орнық сыз.

Ескерту-2. Жоғ арыда айтылғ ан тұ жырымдарды (1) жү йенің айқ ын шешімін пайдаланып дә лелдеуге де болады. Ол шешім былай жазылады:

(8)

Мұ нда тек матрицасының тү рін анық тау керек. Жоғ арғ ы ә дістің бір артық шылығ ы – оны сызық ты емес жү йеге де қ олдануғ а болатындығ ы.

Соң ғ ы екі тұ жырымның дә лелдеулерін [4] оқ у қ ұ ралынан кө руге болады.