Ысқаша мазмұны. 1.Бірінші ретті дербес туындылы дифференциал теңдеудің жалпы түрі былай жазылады:

1. Бірінші ретті дербес туындылы дифференциал тең деудің жалпы тү рі былай жазылады:

(1)

Мұ ндағ ы - белгісіз функция, - тә уелсіз айнымалылар. - кейбір облысында екі рет ү здіксіз дифференциалданатын функция болсын.

Анық тама. Кейбір облысында анық талғ ан ү здіксіз дифференциалданатын функциясы (1) тең деудің шешімі деп аталады, егер ол тө мендегідей шарттарды қ анағ аттандырса:

1)

2)

Бұ л функциясы - кең істігінде кейбір

бетті анық тайды. Осы бетті берілген тең деудің интегралдық беті деп атайды.

Бірінші ретті дербес туындылы тең деулерді интегралдау ә детте жә й дифференциал тең деулер жү йесін интегралдауғ а келтіріледі. Сондық тан, мұ ндай тең деулер жә й дифференциал тең деулер бағ дарламасына енгізілген.

Біз бұ л жерде бірінші ретті дербес туындылы тең деулердің тек

екі сызық ты тү рін ғ ана қ арастырамыз.

2. Алдымен, біртекті сызық ты тең деуді қ арастырайық:

(2)

Мұ ндағ ы, - функциялары кейбір облысында ү здіксіз

дифференциалданатын жә не бә рі бірдей нө лге айналмайтын

функциялар деп есептелінеді. Бұ л (2) тең деуге тө мендегідей жә й дифференциал тең деулердің симметриялық тү рі сә йкес қ ойылады.

(3)

Осы жү йені (2) тең деудің сипаттаушы жү йесі деп атайды. Оның интегралдық қ исық тары (2) тең деудің сипаттауыштары (характеристикалары) деп аталады. Бұ л жү йенің барлық уақ ытта шешімдері бар жә не ол жалғ ыз. Сондық тан, облысының ә рбір нү ктесі арқ ылы тек бір ғ ана сипаттауыш ө теді жә не олардың ғ тә уелсіздерінің саны - ге тең, себебі, ол - ретті қ алыпты жү йеге эквивалент.

Теорема-1. облысында анық талғ ан ү здіксіз дифференциалданатын функциясы (2) тең деудің шешімі болуы ү шін оның (3) жү йенің интегралы болуы қ ажетті жә не жеткілікті.

Дә лелдеуі. 1) қ ажеттілігі. Айталық, функциясы (2) тең деудің шешімі болсын:

(4)

Бұ л функцияның толық дифференциалы былай жазылады:

(5)

Осындағ ы ә рбір -дің орнына оғ ан пропорционал функциясын қ ойсақ, тө мендегідей қ атынас аламыз:

(6)

Мұ ндағ ы, - пропорция коэффициенті. Алдың ғ ы (4) тепе-тең дікті ескерсек, квадрат жақ шаның ішіндегі ө рнек нө лге тепе-тең болады, яғ ни

(7)

Ал бұ л тепе-тең дік функциясының (3) жү йенің интегралы болатынын білдіреді.

2) жеткіліктілігі. Айталық, функциясы (3) жү йенің интегралы болсын:

(8)

Соң ғ ы тепе-тең дік функциясының (2) тең деудің шешімі екенін кө рсетеді.

Теорема-2. Берілген (2) тең деудің жалпы шешімі

(9)

тү рінде анық талады. Мұ ндағ ы, - кез келген ү здіксіз дифференциалданатын функция, ал - (3) жү йенің тә уелсіз интегралдары.

Дә лелдеуі. Айталық, кейбір функциясы (2) тең деудің облысындағ ы кез келген шешімі болсын. Бұ л шешім функцияларымен қ оса (2) тең деуді тепе-тең дікке айналдырады:

(10)

Бұ л біртекті сызық ты жү йенің нө лдік емес

шешімі бар. Сондық тан, бұ л жү йенің анық тауышы нө лге тең. Ол функцияларының якобианына тең.

(11)

Соң ғ ы қ атынас функцияларының ө зара тә уелділігін кө рсетеді. Олардың алдың ғ ы функциялары ө зара тә уелсіз функциялар еді. Сондық тан тә уелділікті соң ғ ы функциясы беріп тұ р:

(12)

Мұ ндағ ы, - кез келген шешім боғ андық тан, (12) қ атынас жалпы шешімді береді.

3. Біртексіз сызық ты тең деуді қ арастырайық:

(13)

Мұ ндағ ы, - функциялары кейбір облысында ү здіксіз дифференциалданатын жә не бә рі бірдей нө лге тең емес деп есептелінеді:

Бұ л тең деуді біртекті сызық ты тү рге келтіру арқ ылы интегралдайды. Ол ү шін шешімді айқ ындалмағ ан функция тү рінде іздейді:

(14)

Мұ ндағ ы, - функциясын облысында ү здіксіз дифференциалданатын жә не деп аламыз. Осы қ атынасты кез келген бойынша дифференциалдайық:

Осыдан

(15)

(15) ө рнекті (13) тең деуге қ ойып, оны бө лшегіне кө бейтсек,

(16)

тең деуін аламыз. Бұ л бойынша біртекті сызық ты тең деу. Сондық тан, алдың ғ ы пунктте кө рсетілген тә сілді қ олданамыз. Бұ л тең деудің сә йкес сипаттаушы жү йесі

(17)

тү рінде жазылады. Бұ л жү йенің ө зара тә уелсіз интегралдары - ге тең:

Бұ л жағ дайда (13) тең деудің жалпы шешімі

(18)

тү рінде жазылады. Шешімді анық талмағ ан тү рде іздеп отырғ анымызды ескерсек,

(19)

қ атынасын аламыз. Осындағ ы -ды арқ ылы ө рнектеуге мү мкін болса, ол функция (13) тең деудің шешімі болады.

Бұ л жерде арнайы шешімдер де болуы мү мкін. Ондай шешімдер сол уақ ытта пайда болады, егер (14) тепе-тең дік тек болғ анда ғ ана орындалса.

4. Біртекті жә не біртексіз сызық ты тең деулер ү шін Коши есебі былай қ ойылады:

тең деудің шешімдерінің ішінен оның бір аргументі тұ рақ талғ ан жағ дайда белгілі бір - ө лшемді бетке айналатын дербес шешімді анық тау керек, яғ ни шешімінің болғ анда белгілі функциясына тең болатын шешімді табу керек. Мұ ны қ ысқ аша

(20)

тү рінде жазады.

Мысалы, екі ө лшемді дербес туындылы

тең деуі ү шін Коши есебі былай қ ойылады:

шешімінің болғ анда шартын қ анағ аттандыратын шешімді іздеу. Ол барлық интегралдық беттердің ішінен қ исығ ы арқ ылы ө тетін бетті табу болып есептелінеді.

Жалпы жағ дайда Коши есебінің шешімін табу қ иындық тудырмайды.