Сызықты жуықтау арқылы орнықтылықты зерттеу

5.1. Айталық, нү ктесі автономды

(1)

жү йенің тең бе-тең дік қ алпы болсын, яғ ни . Осы нү ктесінің кейбір аймағ ында функциясы екінші ретке дейін ү здіксіз дифференциалдансын. Тейлор формуласы бойынша:

(2)

Мұ нда , - Якоби матрицасы, оның ә рбір элементі , тү рінде анық талады. Ал функциясы ү шін

(3)

шарты орындалады. Сондық тан, жуық тап, деп алуғ а болады. Егер деп белгілесек, тө мендегідей сызық ты жү йе аламыз:

(4)

Сызық ты емес (1) жү йеден (4) жү йеге кө шуді жү йені сызық тандыру деп атайды. Ол белгілі бір шешімнің аймағ ында орындалады.

Сызық тандырылғ ан (4) жү йе – тұ рақ ты коэффициентті сызық ты жү йе. Ол оң ай интегралданады. Сондық тан, оның тең бе-тең дік қ алпының орнық тылығ ы толық зерттелген. Оны ө ткен параграфта келтірдік.

Енді осы сызық тандырылғ ан (4) жү йенің тең бе-тең дік қ алпының орнық тылығ ына қ арап бастапқ ы сызық ты емес (1) жү йенің тең бе-тең дік қ алпының орнық тылығ ын анық тау мү мкіншілігін қ арастырайық. Бұ л жө нінде Ляпуновтың іргелі тұ жырымы тө мендегідей.

Теорема-1. Айталық, вектор-функциясы тең бе-тең дік қ алыптың кейбір аймағ ында екі рет ү здіксіз дифференциалдансын. Егер Якоби матрицасының меншікті сандарының нақ ты бө ліктері теріс болса, онда сызық ты емес (1) жү йенің тең бе-тең дік қ алпы асимптотикалы орнық ты жә не кез келген шешім ү шін тө мендегідей шарт орындалады:

(5)

мұ нда -мейлінше аз шама.

Дә лелдеуі. Берілген (1) жү йені (2) жіктеуді пайдаланып тө мендегідей тү рде жазайық:

(5)

Мұ ндағ ы, - тұ рақ ты матрица, ал функциясы (3) тең сіздікті қ анағ аттандырады. Ө ткен параграфта кө рсетілгендей, кейбір - матрицасы арқ ылы матрицасын диагоналды дерлік тү рге келтіреміз. Ол ү шін алмастыруын жасасақ, жү йе мына тү рге келеді:

(6)

Мұ нда - диагоналды матрица, - матрицасының ә рбір элементі шектелген: , ал .

Ляпунов функциясы ү шін сол алдың ғ ы параграфта кө рсетілген функцияны алайық:

(7)

Бұ л функция анық талғ ан оң таң балы. Енді осы функцияның (6) жү йе бойынша алынғ ан туындысын есептейік:

(8)

Мұ нда жә не сә йкес бірінші жә не екінші квадрат жақ шалардың ішіндегі ө рнектерді білдіреді. Осындағ ы қ осындысы сызық ты

(9)

жү йе бойынша алынғ ан туындыны білдіреді. Сондық тан §3 параграфтағ ы теорема-5 бойынша (онда ) деп кө рсетілген):

(10)

Осы сияқ ты

,

Осыдан

(11)

мұ ндағ ы .

Сондық тан,

(12)

Егер кейбір аймағ ында деп алсақ, онда

(13)

яғ ни облысында функциясы анық талғ ан теріс таң балы мә н қ абылдайды жә не

(14)

мұ ндағ ы . Ляпуновтың екінші теоремасы бойынша тең бе-тең дік қ алып асимптотикалы орнық ты. (14) тең сіздіктен (5) шарты оң ай шығ ады (§3).

Теорема-2. Айталық, вектор-функциясы тең бе-тең дік қ алыптың кейбір аймағ ында екі рет ү здіксіз дифференциалдансын. Егер Якоби матрицасының меншікті сандарының кейбіреуінің нақ ты бө лігі оң болса, онда тең бе-тең дік қ алып орнық сыз.

Дә лелдеуі. Айталық, меншікті санының нақ ты бө лігі оң болсын: . Бұ л жағ дайда матрицасына тү рлендіруін пайдаланып, оны тө менгі ү шбұ рышты диагоналды тү рге келтірсек, соң ғ ы тең деу

(15)

тү рінде жазылады. Осы тең деу ү шін Четаев функциясын мына тү рде алайық:

(16)

Осы функцияның (15) тең деу бойынша туындысын есептейік:

мұ ндағ ы, .

Соң ғ ы тең діктен

(17)

тең сіздігін аламыз. Осы (16) жә не (17) қ атынастардан нү ктесінің кейбір аймағ ында жә не болатынын кө реміз. Мысалы, нү ктесінде жә не функциялары анық талғ ан оң таң балы. Сондық тан, аймағ ы ү шін облысын алсақ, жеткілікті. Егер жеткілікті аз шама болса, онда жә не оның ішкі шекарасында нү ктесі жатыр. Четаев теоремасы бойынша тең бе-тең дік қ алып орнық сыз.

Теорема-3. Егер Якоби матрицасының меншікті сандарының кейбіреулерінің нақ ты бө ліктері нө лге тең болып, қ алғ андарының нақ ты бө ліктері теріс болса, онда (5) жү йедегі функциясының берілуіне қ арай тең бе-тең дік қ алып орнық ты да, орнық сыз да бола алады.Мұ ндай жағ дайларды ерекше жағ дайлар деп атайды. Олар туралы мағ лұ маттарды арнаулы кітабынан алуғ а болады.