Основы параметрической теории надежности. Вероятность выполнения задания по параметру качества

При расчетах на прочность, жесткость, износостойкость, теплостойкость, усталость, точность изготовления и т.д. проводится сопоставление по некоторым критериям расчетных параметров с их предельными значениями.

Считают, что работоспособность по данному критерию обеспечена, если расчетный параметр критерия х меньше (или больше) заданного предельного значения х_n. Учитывая требования надежности, в такой расчет вводят коэффициент безопасности п, принимая расчетное условие в виде:

(или ) (48)

В этом случае х и х_п считают детерминированными величинами, хотя в действительности эти параметры являются статистическими и имеют определенное рассеивание. Для учета такого рассеивания расчет ведется по наиболее неблагоприятным значениям. Поэтому, хотя надежность и завышается по одному из критериев в ущерб другим, истинное значение показателя надежности неизвестно. Теория надежности позволяет корректно ответить на все возникающие в этой ситуации вопросы.

Пусть задан некоторый параметр X, являющийся случайной величиной с плотностью распределения f_x(x), и односторонний допуск X_п на этот параметр, также являющийся случайной величиной с плотностью распределения . Требуется определить вероятность выполнения задания по параметру X, т.е. вероятность того, что случайная величина L=X-X _n³ 0.

В этом случае вероятность выполнения задания определяется соотношением:

, , (49)

где, как обычно, детерминированная переменная l описывает область реализации случайной величины L.

Пусть параметры X и X_n имеют нормальные законы распределения с числовыми характеристиками т_х, s_х и т_п, s_п. Используя устойчивость нормального закона к линейному преобразованию и вместо вычисления интегралов (49), используя (27) и (28), получим:

, , (50)

где m_l = m_x - m_n, s_l ²= s_x ²+ s_n ², U_p - квантиль нормального распределения.

Введя коэффициент запаса надежности п=т_х/т_п и коэффициент вариации v_x=s_x/m_x и v_n=s_n/m_n, представим выражения для квантиля в виде:

. (51)

Из соотношений (50) и (51) видно, что вероятность выполнения задания по параметру, вычисляемая для наиболее худшего случая L =0, зависит как от величины коэффициента запаса надежности, так и коэффициентов вариации параметра X и его предельного значения X_п.

Например, пусть X - несущая способность детали, распределенная по нормальному закону с параметрами т_х=3 kH и s_х =0, 7 kH, а X_n -действующая нагрузка, распределенная также по нормальному закону с параметрами т_п=2 kH и s_n =0, 5 kH. Коэффициент запаса надежности будет т_х/т_n =1, 5и, казалось бы, можно утверждать, что от этой нагрузки деталь не разрушится. Однако, расчет дает: U_p= -1, 16; Ф(-1, 16)=-0, 38 и Р_H (L= 0)=0, 88. Следовательно, мы получили, что хотя коэффициент запаса надежности выбран 1, 5, тем не менее из каждых 100 деталей следует ожидать разрушение в 12 случаях.

Такое низкое значение вероятности безотказной работы по параметру определяется наличием дисперсии (точнее величиной коэффициентов вариации) в распределениях как параметра, так и допуска на него. Видно, что даже в случае одинаковых коэффициентов запаса надежности можно получить различные вероятности выполнения задания в зависимости от рассеивания (дисперсии) случайной величины.