Розділ ІІ. Нестандартна задача як основний фактор розвитку логічного мислення.

2.1. Поняття задачі, класифікація задач, вправи, запитання.

Поняття задачі трактується з різних поглядів. У психологічній літературі їх детальне дослідження було здійснене Г. О. Баллом. Як стверджує науковець, термін «задача» вживається для позначення об’єктів, що відносяться до трьох різних категорій:

· мети дій суб’єкта та вимог, поставлених до нього;

· ситуації, що поряд із метою включає умови, за яких її має бути
досягнуто;

· словесного формулювання цієї ситуації.

Г. О. Балл відзначає, що в психологічній літературі найпоширенішим є вживання терміна «задача» для позначення об’єктів другої категорії. При цьому для об’єктів першої категорії використовується вислів «мета дії», «вимога задачі», третьої – «формулювання задачі» 2[2].

Проаналізувавши різноманітні трактування поняття задачі, можна відзначити, що в кожному з них погляди на відношення між суб’єктом і задачею різняться між собою. Прихильники розгляду задачі як ситуації, в якій повинен діяти суб’єкт, включають його в саме поняття задачі. До речі, такої ж думки дотримується й більшість психологів та кібернетиків. У методиці навчання математиці подібне тлумачення означеного терміна характерне для робіт Ю. М. Колягіна. Дослідник зазначає, що задачі без суб’єкта не існує, однак те, що хтось вважає задачею, для інших може нею не бути.

Прихильники третього трактування задачі не включають суб’єкт у це поняття. Найбільш чітко й послідовно ця точка зору відображається в роботах Л. М. Фрідмана, який характеризує задачу як модель проблемної ситуації, виражену за допомогою знаків деякої природної або штучної мови. Як зазначає дослідник, проблемна ситуація виникає тоді, коли суб’єкт у діяльності, спрямованій на якийсь об’єкт, стикається з якимось утрудненням або перешкодою. Однак проблемна ситуація – це не лише утруднення чи перепона в діяльності суб’єкта, а й усвідомлена суб’єктом перешкода, спосіб усунення якої він бажає знайти. Таким чином, у поняття проблемної ситуації Л. М. Фрідман включає суб’єкт. Отже, задача – це модель ситуації, елементом якої є суб’єкт, що усвідомив труднощі своєї діяльності. Іншими словами, Л. М. Фрідман наділив означене поняття «суб’єктивними генами», які він намагається не помічати [19].

Варто відзначити, що різні автори по-різному трактують співвідношення між поняттями «задача» і «проблемна ситуація». Наприклад, Л. М. Фрідман та деякі інші дослідники вважають поняття проблемної ситуації первинним; психологи стверджують, що суб’єкт – це елемент проблемної ситуації; інші науковці (С. Л. Рубінштейн) під проблемною розуміють деяку об’єктивну ситуацію, з якої починається процес мислення. За С. Л. Рубінштейном, задача – це результат аналізу людиною проблемної ситуації, що містить якісь нерозкриті ланки. Тобто дослідник розглядає суб’єкт як елемент задачі. Проте існує й протилежна точка зору, коли первинним вважається поняття задачі, а вторинним, відповідно, – поняття проблемної ситуації. Остання, у свою чергу, оцінюється як фактор, що розглядається щодо суб’єкта та передбачає його обов’язкову участь. Задача визнається існуючою об’єктивно.

Повернемося до досліджень тих авторів, які включають суб’єкта в поняття задачі. У методиці навчання математиці її послідовним прихильником, як вказувалося вище, є Ю. М. Колягін. Вихідним поняттям він вважає систему «людина – задачна ситуація», де під другим компонентом розуміється множина (Р) взаємопов’язаних через деякі властивості і відношення елементів. Якщо людині, що вступила в контакт із цією множиною, відомі всі її елементи, властивості і відношення, то таку систему (Р) називають стаціонарною за відношенням до даної людини. Проте коли людині невідомий хоча б один елемент, властивість чи відношення, то систему Р називають проблемною за відношенням до даного суб’єкта.

Розв’язати задачу означає перетворити дану проблемну ситуацію у відповідну їй стаціонарну або встановити, що таке перетворення в даних умовах неможливе. Очевидним є те, що наскільки Л. М. Фрідман абсолютизує об’єктивний фактор задачі, настільки і Ю. М. Колягін абсолютизує суб’єктивний.

Зважаючи на вищевикладене, можна стверджувати, що найбільш поширеним є визначення задачі як системи (Г. О. Балл, Ю. М. Колягін, Л. М. Фрідман, А. Ф. Есаулов). Автори по-різному окреслюють явища, що відносяться до цього поняття. Деякі з них вживають термін «задача» для позначення об’єктів, що належать до категорії мети дій суб’єкта (О. М. Леонтьєв), інші відносять його до категорії ситуації, що включає мету умов, в яких задача повинна бути розв’язаною (Л. Л. Гурова, Ю. М. Колягін, Ю. М. Кулюткін, П. М. Ерднієв, А. Ф. Есаулов та ін.), треті – до категорії словесного формулювання цієї ситуації (Л. М. Фрідман). Найпоширенішим є вживання терміна «задача» для позначення ситуації, що включає мету та умови її досягнення. Означеному поняттю характерні дві сторони: об’єктивна та суб’єктивна. До першої належить предмет дії, вимога, місце в системі задач, логічна структура розв’язування задачі, визначеність або невизначеність умови тощо, а до другої – способи та засоби її розв’язування.

Проблемі класифікації задач у методичній, психологічній та

кібернетичній літературі присвячено чимало досліджень. У методиці навчання математиці тривалий час поширеною була класифікація, основа якої – характер вимоги, це:

а) задачі на доведення;

б) задачі на побудову;

в) задачі на обчислення.

Успіх ций класифікації забезпечувало те, що вона деякою мірою зумовлювала вибір методу розв’язування кожного типу задач. У зв’язку з розширенням цілей навчання та ролі задач в їх реалізації в шкільний курс математики почали «проникати» задачі, що не відповідають традиційній типології. Їх функції в навчанні демонструються наступною класифікацією:

а) задача з дидактичними функціями;

б) задача з пізнавальними функціями;

в) задача з розвиваючими функціями (К. І. Нешков і А. Д. Семушин) [63].

Дана класифікація дозволяє обґрунтовано здійснювати відбір задач, хоча на практиці досить важко відокремити їх типи. Задачі з дидактичними функціями призначені для засвоєння теоретичного матеріалу; у процесі розв’язування задач другого типу учні поглиблюють теорію і методи їх розв’язування; у задачах третього типу відображається не лише зміст основного курсу математики, а й застосовуються уже вивчені питання курсу.

Погоджуючись із авторами щодо доцільності широкого використання задач у навчанні, не можна погодитися з тим, що розвиваючі функції характерні лише тим задачам, зміст яких відрізняється від обов’язкового курсу, розширюючи його. Непереконливою є рекомендація авторів вважати задачі із пізнавальними функціями обов’язковими для розв’язування всіма учнями, а з розвиваючими – ні.

Задачі в шкільному навчанні є метою і засобом навчання, адже за їх допомогою формуються основні математичні поняття та розкривається суть математичних фактів у реальній ситуації. У зв’язку з цим необхідно, щоб майбутній учитель володів уміннями здійснювати методичний аналіз задач.

Ю. М. Колягін, Є. І. Лященко пропонують ряд модифікацій даної типології задач. Так, Є. І. Лященко виділяє такі типи задач: дидактичні, пізнавальні та розвиваючі. Кожен тип дослідниця пов’язує з їх призначенням, причому критерії віднесення задач до тієї чи іншої групи настільки нечіткі, що важко відокремити один тип від іншого [26, 38].

У. Р. Рейтман та Ю. М. Колягін здійснили спроби класифікації задач за величиною проблемності. Так, Ю. М. Колягін в залежності від того, які компоненти задачі (умова – А, висновок – В, розв’язування – R, базис розв’язування задачі – С) невідомі тому, хто її розв’язує, визначає таку типологію задач:

I тип – відомі всі компоненти (ACRB).

II тип – невідомий один компонент: a) XCRB; б) AXRB; в) АСХВ; г) ACRX.

III тип – невідомі два компоненти: a) AXYB; 6) XCRY; в) XYRB та ін.

IV тип – невідомі три компоненти: a) XYZB; б) AXYZ; в) XCYZ;
г) XYRZ.

Задачі зазначених типів Ю. М. Колягін називає стандартними, навчальними, пошуковими, проблемними.

Пропонована класифікація охоплює багато типів задач, однак, на нашу думку, має певні недоліки. Адже конкретна задача може бути віднесена до відповідного типу лише при співвіднесенні зі знаннями того, хто її розв’язує. До того ж існування багатьох типів задач вельми сумнівне, зокрема тих, в яких невідомі умова, висновок, базис, але відоме розв’язання [38, 84].

Задачі також можна групувати за методами їх розв’язування: задача на геометричні перетворення, задача на вектори тощо. Залежно від кількості об’єктів, наявних в умові, і зв’язків між ними розрізняють складні і прості задачі. Крім того, виділяють стандартні й нестандартні, теоретичні і практичні, усні та письмові задачі тощо. Зауважимо, що певні класифікації відносні і не задовольняють логічним вимогам, що висуваються до класифікації об’єктів. Тому правильніше було б стверджувати про об’єднання задач у групи (типологія задач).

Останнім часом набула поширення типологія задач, у якій кожен тип
співвідноситься із компонентами навчальної діяльності: організаційно-дієвим,
стимулюючим, контрольно-оцінюючим. Зважаючи на означене зіставлення,
розрізняють такі типи задач:

1) задачі, що стимулюють навчально-пізнавальну
діяльність;

2) організовують і здійснюють навчально-пізнавальну діяльність
школярів;

3) задачі, в процесі розв’язування яких здійснюється контроль і
самоконтроль ефективності навчально-пізнавальної діяльності.

Залежно від конкретизації навчальної діяльності класифікація наповнюватиметься конкретним змістом:

1) задачі, що стимулюють засвоєння знань, умінь і навичок;

2) задачі, в процесі розв’язування яких засвоюються знання, вміння й
навички;

3) задачі, контролюючі засвоєння знань, умінь і навичок.

Поряд із поняттям «задача» застосовується й термін «вправа».

У науковій літературі існують різні тлумачення поняття «вправа». Зокрема його трактують як засіб своєрідного тренування, вироблення відповідних навичок. Ототожнення термінів «вправа» і «задача» викликає сумніви у доцільності застосування різних термінів з метою позначення одного поняття. Разом із тим, очевидно, що поняття «задача» ширше за значенням від поняття «вправа». Для того, щоб зрозуміти різницю у їх значеннях необхідно вказати видові відмінності вправи.

При взаємодії людини і задачної ситуації змінюється як сама задачна ситуація, так і суб’єкт. Зміни в задачній ситуації обумовлені вимогою задачі і передбачають перетворення умови, зміну зв’язків між об’єктами тощо. Зміни в суб’єкті характеризуються формуванням відповідних знань, умінь і навичок. Суттєво важливого значення в означеній взаємодії набувають зміни в задачній ситуації або зміни в особистості учня, який розв’язує задачу. Мета задачі при цьому – результат, що характеризує зміну в системі «людина – задачна ситуація». Зважаючи на цю термінологію, можна стверджувати, що прямим продуктом задачі є зміни в задачній ситуації або зміни в особистості того, хто розв’язує задачу. Вправою можна вважати ту задачу, прямим продуктом якої є набуття знань, умінь і навичок.

Розкрити зміст поняття вправи можна і в іншому контексті, враховуючи аналіз інтерпретацій процесу навчання, навчального пізнання, структури уроку, методів навчання та практики. [16]

Застосування методичних концепцій системності та цілісності дозволяє пояснити сучасний процес навчання. Спільним у його інтерпретаціях, що ґрунтуються на діяльнісному підході (М. І. Махмутов) і розумінні змісту освіти як соціального досвіду людства, є засвоєння способів діяльності, котрі є елементом змісту навчання. Ці способи реалізуються через спеціальні об’єкти – їх носії, причому взаємодія з ними повинна забезпечити засвоєння способів діяльності – прямого продукту (результату) цієї взаємодії. Таким чином, даний об’єкт є як носієм дій, так і засобом їх засвоєння. Відзначимо й те, що психологія розглядає знання як діяльність, оцінену з точки зору її результату. Зважаючи на таку концепцію знань, їх засвоєння передбачає, передусім, оволодіння діями, що адекватні знанням.

Дослідження процесу навчання свідчить, що в ньому відбувається взаємопроникнення споглядання, мислення і практики. Хоча для навчання характерна різноманітність рівнів та видів практики, проте в цілому спостерігається перевага практики в єдності із застосуванням наукових знань. Причому практика може не лише формувати пізнання, а й передувати, супроводжувати його [23].

Враховуючи вищезазначене, приходимо до висновку, що вправа – це багатоаспектне явище, що характеризується як:

1) реалізація дій, адекватних змісту навчання математики;

2) засіб цілеспрямованості умінь і навичок;

3) спосіб організації та управління навчально-пізнавальною діяльністю учнів;

4) одна із форм реалізації методів навчання;

5) засіб зв’язку теорії із практикою.

Означена модель вправ свідчить, що з огляду на зміст навчання, вправа є носієм дій, з погляду методів навчання – однією із форм їх прояву, з боку процесу навчання – засобом цілеспрямованого формування знань, умінь і навичок. У діяльнісному контексті вправи є одним зі способів організації та управління навчально-пізнавальною діяльністю учнів.

Отже, зважаючи на зазначене вище, робимо висновок, що в контексті підручників математики шкільні задачі є вправами, тому розглянуті типології задач можна вважати типологіями вправ. Проте враховуючи традицію вживання в шкільних підручниках терміна «задача», вважаємо за необхідність їй слідувати.

Крім терміна «вправа», задача інколи співвідноситься із категорією «запитання». У зв’язку з цим виникає запитання, як співвідносяться між собою ці поняття?

У Словнику української мови та Великому тлумачному словнику сучасної української мови термін «запитання» трактується як: звертання до кого-небудь із метою з’ясування чого-небудь; те, що вимагає з’ясування; тема для відповіді при перевірці знань учня чи збиранні якихось відомостей тощо; вимоги, прохання дати які-небудь відомості або офіційне роз’яснення з приводу чого-небудь [14, с. 256].

Логічний словник-довідник дає таке визначення поняття «запитання»: невідома задача, яку необхідно розв’язати; речення, яке містить недостатньо інформації про який-небудь об’єкт, наділений особливою формою та інтонацією і вимагає відповіді, пояснення [7].

Термін «запитання», на думку М. І. Махмутова, трактується як категорія лінгвістична, що виражає не лише словесне формулювання думки, а й гносеологічне та психологічне, що має більш глибоке значення, непізнане явище реальної дійсності, в основу якого покладено суперечність між відомим та невідомим. Ця суперечність і є джерелом мислення [13, с. 44].

Більшість дослідників (М. І. Кондаков, Ю. І. Машбиць та ін.) вважають запитання окремим видом задач. Для їх розв’язання не потрібно докладати якихось особливих зусиль, наприклад, дати визначення поняття, сформулювати закон, назвати основні частини приладу та ін. До речі, запитання порівняно із задачею менш інформаційно-насичене, а тому, на думку М. І. Кондакова, не завжди повинно мати форму запитального речення. Запитанням не завжди можна назвати завдання питальної форми, оскільки така форма може використовуватись у навчальних задачах. Наприклад, запитання можна сформулювати таким чином: «Які метричні властивості правильного тетраедра?» [27, с. 92].

Запитання – це висловлювання, що фіксує невідомі елементи, які необхідно з’ясувати. Зазвичай воно виражається запитальним реченням або словосполученням та має складну структуру, зокрема включає проблематичну і асерторичну складові. Остання характеризує предмет запитання, виділяючи ознаки того, що вже відоме, і того, що потрібно знайти, а також окреслює можливі значення невідомого. Ця сторона запитання інколи виступає на перший план і набуває самостійного значення (наприклад, у риторичних або провокаційних запитаннях).

Із точки зору значень істинності, запитання діляться на змістовні (ті, що правильно поставлені й відповідають синтаксичним, сегмантичним і прагнетичним критеріям змістовності) та беззмістовні. У мові запитання переважно представлене у формі запитального речення. У кожному запитанні є два елементи: те, що відомо, і те, що потребує визначення.

Зазвичай терміни «запитання» та «задача» тісно пов’язані. Так, В. І. Загвязинський різницю між запитанням і задачею вбачає тільки в повноті представленої умови. Якщо в запитанні вона лише мається на увазі, то в задачі – пропонується безпосередньо.

У теорії задач запитанням називають вимогу пізнавальної чи комунікативної задачі, виражену в знаковій формі, зокрема в словесній, або компонент такої вимоги, який передбачає визначення хоча б одного з невідомих задачі об’єктів [53, с. 23].

Отже, запитанням, наприклад, можна вважати не лише речення «Чому дорівнює об’єм кулі?», а й – «Знайдіть об’єм кулі». Таким чином, тут використовується не граматичне, а логічне поняття запитання. Характеризуючи це поняття, вказують також на «дуже складний взаємозв’язок із граматичними формами їх вираження» [9].

Л. М. Фрідман у праці «Психологічний аналіз задач» ототожнює поняття «задача» і «запитання» та зауважує, що запитання (або задачу, адже її розглядають як складне запитання) є правильно поставленим (правильним), якщо воно включає наступні п’ять вимог:

1) у запитанні повинні бути вказані всі елементи предметної області;

2) усі вказані в запитанні предикати повинні бути визначені стосовно тих елементів предметної області, відносно яких ці предикати задані в задачі;

3) область значень кожної із заданих у задачі (запитанні) змінних (предметних або предикатних) не повинна бути «пустою»;

4) усі твердження, задані в умові задачі (запитання), повинні бути
достовірними;

5) в умові задачі повинні бути представлені лише дані, які не суперечать
її умові [20].

Зважаючи на представлене вище, варто зауважити: якщо не врахована хоча б одна з означених вимог, запитання вважаються неправильними, а отже, використовуватися у навчальному процесі можуть лише як приклад неправильності.

Розглянемо трактування поняття «запитання» як вид задачі. Так, психологи висунули думку про те, що задача – це запитання, що потребує розв’язання, а сам процес виникнення запитання – необхідний момент будь-якої розумової діяльності. С. Л. Рубінштейн, Н. А. Менчинська та ін. психологи таким чином конкретизували це твердження:

· запитання – це обов’язковий компонент будь-якої задачі, яку ставить
перед собою особистість;

· усвідомлене запитання детермінує весь процес розв’язування задачі;

· будь-яке упущення чи «втрата» запитання відхиляє думку від
прийнятого рішення;

· у ході розв’язування задачі запитання постійно співвідноситься з
вихідними даними, що піддаються аналізу;

· аналізу й уточненню піддається і саме запитання;

· конкретно поставлене запитання полегшує розв’язування задачі.

Таким чином, «запитання» як продуктивна форма думки дуже близьке до «пізнавальної задачі», однак ці поняття потребують деякого розмежування. Запитання як форма думки є обов’язковим компонентом пізнавальної задачі, тоді як пізнавальна задача містить вихідні дані, тобто те, на що можна оператися, розв’язуючи її. Запитання як форма думки в навчальному процесі може застосовуватися також і без початкових даних (вони можуть бути невідомими або частково міститися в запитанні). Зважаючи на це, запитання є одиницею більш крупнішою, а отже, використовується у навчанні частіше, ніж задача.

Якщо пізнавальна задача, як правило, спрямована на те, що учні розв’яжуть її (з цією метою наводяться початкові дані), то важкі запитання вимагають від школярів додаткових роздумів, пошуку конкретних відповідей на запитання.

Стосовно визначення поняття «навчальна задача», то, на нашу думку, це така задача, що розв’язується за наявності певної системи конкретних навчальних запитань і вправ. Якщо при розв’язуванні задачі учні стикаються з труднощами, то така навчальна задача перетворюється на задачу проблемного характеру.

Ми розглядаємо навчальну задачу як складну динамічну систему, яка перебуває у неперервному розвитку, оскільки:

• по-перше, вона є навчальною системою, відкритою з точки зору числа суб’єктів, які беруть участь у її розв’язанні, а отже, число можливих навчально-пізнавальних контактів (учитель-учень, учень-учень, учень-засоби навчання тощо) постійно змінюється;

• по-друге, для кожного суб’єкта навчальної діяльності змінюється характер цих контактів (від репродуктивних до продуктивних);

• по-третє, під час виконання навчальної задачі спостерігається розвиток кожного суб’єкта навчально-пізнавальної взаємодії через мотивацію навчання шляхом усвідомлення його результатів.

Таким чином, навчальну задачу можна трактувати як: пізнавальне середовище, яке сприяє зміні конкретного суб’єкта діяльності; вид пізнавальної діяльності учня (прочитати текст, підготувати реферат, виконати вправу, провести дослід); об’єкт дії учня (дати відповідь на запитання, виконати вправу); модель пізнавальної ситуації, яка спрямована на засвоєння змісту математичної освіти.