Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости

Пусть плоскость Q задана уравнением , прямая уравнениями .

Угол между прямой и плоскостью называется любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость. Обозначим через угол между плоскостью Q и прямой , а через - угол между векторами и (рис 8). Тогда . Найдем синус угла , считая ; . Итак так , получаем

(9)

Если прямая параллельна плоскости Q, то векторы и перпендикулярны (рис 9), а поэтому , т.е.

является условием параллельности прямой и плоскости.

Если прямая перпендикулярна плоскости Q, то векторы и , параллельны.

Поэтому равенства

является условиями перпендикулярности прямой и плоскости.

Вопросы для самопроверки

1. Запишите общее уравнение плоскости.

2. Запишите уравнение плоскости, проходящей через данную точку

перпендикулярно данному вектору .

3. Нормальное уравнение плоскости, признаки нормального уравнения плоскости.

Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду.

4. Определение расстояния от точки до плоскости.

5. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

6. Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей

7. Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Пучок плоскостей

Рекомендуемая литература: ОЛ [3], [5], [6], [8]