Оптимальное правило принятия решения о состоянии объекта контроля

Рассмотрим следующую линейную модель измерения, которая часто достаточно точно отражает процесс измерения сигналов в процессах контроля состояния объекта:

, (3.46)

где X- вектор состояния объекта размерности m´ 1, R - матрица измерения размерности N´ m, H - вектор погрешностей измерений размерности N´ 1, Y- вектор результатов измерений размерности N´ 1. Рассматривается двуальтернативный случай контроля работоспособности объекта. В этом случае вектор состояния объекта контроля X может относиться либо к области допустимых значений g₀ либо к области недопустимых значений g₁. При этом выполняются следующие условия: Будем предполагать, что известны законы распределения векторов X и H. Поставим задачу определить байесово правило решение, которое обеспечит минимальный средний риск классификации сигналов X по результатам наблюдений Y.

С позиций теории статистических решений задача сводится к определению оптимального правила решения r^·, которое минимизирует или обеспечивает нижнюю границу среднего риска R(r, h)

, (3.47)

где h(x)-априорное распределение вектора X, -байесов риск, соответствующий оптимальному правилу решения . Оптимальное правило решения сводится к оптимальному разбиению пространства F значений векторов Y или пространства W оптимальных оценок вектора X на две области G₀-допустимых значений и G₁-недопустимых значений, обеспечивающих минимальное значение среднего риска. При этом должны выполняться следующие условия:

Оптимальное правило решения определяет границу между G₀ и G₁.

С позиций теории статистических решений в данном случае целесообразно использовать оптимальный алгоритм, определяемый следующими соотношениями:

если < k принимается решение z = 0, (3.48)

если ³ k принимается решение z = 1, (3.49)

где отношение апостериорных вероятностей будет равно

_,

k-порог, который определяется следующим соотношением

,

l_ij- функция потерь, соответствующая i-му истинному состоянию объекта контроля и j-м решению, принимаемом о состоянии объекта по результатам измерений Y, i, j= 0, 1.

Вид порога определяет критерий оптимальности. Если положить

l₁₀ = l₀₁ = 1,

l₀₀ = l₁₁ = 0,

то в этом случае будет выбран критерий Котельникова (идеального наблюдателя). В этом случае минимизируется сумма двух ошибок - риска заказчика и риска изготовителя:

. (3.50)

Если положить l₀₀ = l₁₁ = 0, l₀₁= 1, l₁₀=1+l/p₁, где неопределённый множитель Лагранжа l определяется условия заданного ограничения , то получим критерий Неймана-Пирсона (β задано, α минимизируется)

(3.51)

Инверсный критерий Неймана-Пирсона (a задано, b минимизируется) определяется из следующего выражения:

. (3.52)

Основной недостаток оптимального метода решения рассматриваемой задачи заключается в сложности получаемых алгоритмов классификации состояний объекта контроля. Граница между областями G₀ и G₁ имеет очень сложный вид. Поэтому на практике часто используется квазиоптимальный способ оценки состояния объекта контроля.

Пример. Получим оптимальное правило контроля состояния объекта при нормальных законах распределения параметров состояния h(x) и погрешностей измерения f(y/x).

Будем предполагать, что контроль состояния объекта производится на интервале времени, в течении которого значения параметров объекта и погрешностей измерения H заметно не изменяются, т.е. X и H - векторы а не случайные векторные процессы.

Таким образом, априорная плотность распределения вектора состояния имеет следующий вид:

, (3.53)

где математическое ожидание m_x размерности m´ 1 и корреляционная матрица K_x размерности m´ m вектора X известны и матрица K_x является невырожденной.

Условная плотность распределения f(y/x) вектора погрешностей измерения H является также нормальной и имеет следующий вид:

F(y/x)= , (3.54)

где корреляционная матрица K_H размерности N´ N вектора погрешностей измерения H известна и является невырожденной, математическое ожидание вектора H m_H=0.

Тогда можно определить в следующем виде:

, (3.55)

где - оптимальная оценка вектора X по критерию минимума среднего квадрата ошибки оценки при получении вектора измерений Y; - корреляционная матрица ошибок оптимальных несмещенных оценок вектора X.

В соотношение (3.55) входит плотность распределения

, которую с учётом введения обозначения , где -ошибка оптимальной оценки вектора X, можно рассматривать как плотность вероятности оптимальной ошибки оценки:

. (3.56)

Отсюда следует, что отношение апостериорных вероятностей в данном случае определяется при фиксированном значении вектора y отношением вероятности попадания ошибки оценки в соответственно области и . Используя соотношения (3.48) и (3.49) определим алгоритм принятия решения процесса контроля.

Предположим, что все контролируемые параметры являются независимыми между собой и от погрешностей измерений, что часто выполняется на практике, так как контролируемые параметры выбираются таким образом, чтобы при данном объёме обеспечить максимальную информацию о состоянии объекта. Будем считать, что все погрешности измерений различных параметров также взаимонезависимы. Пусть m_x=0, W_0k=A_Вk-A_Нk, W_1k=(¥ ¸ A_Вk, A_Нk¸ -¥), A_Вk=- A_Нk, где A_Вk-верхняя граница допуска на k-ый параметр, A_Нk-нижняя граница допуска на k-ый параметр)

Рис.3.2 Поле допустимых и недопустимых значений k-го параметра состояния объекта

В этом случае отношение апостериорных вероятностей примет следующий вид:

.(3.57

Используем табличный интеграл ошибок . Тогда отношение апостериорных вероятностей можно представить в следующем виде:

(3.58)

Подставляя соотношение (3.58) в выражение (3.48) и (3.49), определим оптимальный алгоритм принятия решений о состоянии объекта контроля для исследуемой ситуации. При получении результата измерения y необходимо получить оптимальную оценку вектора x и затем вычислить отношение апостериорных вероятностей и сравнить с порогом k, значение которого определяется критерием оптимизации, в результате получим оптимальное решение при выборе класса состояний объекта контроля.

Рассмотрим частный случай, пусть m = 1, тогда

. (3.59)

Выберем критерий Котельникова, которому соответствует значение порога = 1. В этом случае неравенство (3.59) можно привести к следующему виду:

. (3.60)

Алгоритм решения сводится к получению двух интегралов вероятности, нахождению их разности и сравнению с ½.

Исследуем данный алгоритм контроля однопараметрического объекта учитывая, что функция F обладает следующими свойствами:

- если аргумент равен нулю, то функция F равна нулю;

- если аргумент равен , то функция F равна единице;

- функция F нечетная;

-если аргумент равен 3, то функция F близка к единице.

Зависимости интегралов вероятности и их разности, определяемой левой частью неравенства (3.60), от изменения значений оптимальной оценки параметра X приведены на рисунке (3.3).

Рис.3.3 Зависимость разности двух интегралов вероятности от значений оптимальной оценки параметра состояния X

Как видно из рисунка границы допуска в общем случае не совпадают с значениями оценок , определяемых пересечениями зависимости разности двух интегралов вероятности с прямой, параллельной оси абсцисс и отстоящей от неё на расстоянии, определяемом значением ½. Таким образом, если перейти от оптимального алгоритма контроля к квазиоптимальному, определяемому сравнением значения оптимальной оценки с верхним и нижним значениями оценок, определяемых пересечением зависимостью разности двух интегралов вероятности со значением 1/2, то при принятии решения о состоянии объекта возникнет методическая ошибка. Величина этой ошибки будет тем меньше чем больше отношение поля допуска к среднеквадратическому значению ошибки оптимальной оценки. При часто выполняющихся значениях этого отношения 18 и больше (так как обычно , , где s_x-среднеквадратическое значение параметра объекта) можно пренебречь влиянием методической ошибки на достоверность принимаемого решения. При этом контрольное поле допуска обычно незначительно превосходит контролируемое поле допуска g₀=(A_В-A_Н). Полученный квазиоптимальный алгоритм контроля состояния объекта значительно проще оптимального алгоритма и сводится к сравнению полученной оптимальной оценки с верхнй и нижней границами контрольного поля допуска. При этом если значение оценки попадает в контрольное поле допуска принимается решение, объект работоспособен и в альтернативном случае – неработоспособен.

Если используется оптимальное правило решения

,

то вероятности ошибок контроля можно определить следующими выражениями:

, (3.61)

, (3.62)

где и плотности распределения отношения апостериорных вероятностей при условии соответственно, что вектор состояния объекта контроля X принадлежит области недопустимых значений g₁ и области допустимых значений g₀. Определение указанных плотностей распределения вызывает значительные трудности. В связи с чем при использовании оптимального правила решения вычисление вероятностей ошибок и и достоверности и каналов «годен» и «негоден» системы контроля является затруднительным.

При использовании же квазиоптимального правила решения о состоянии объекта контроля в случае использования областей допустимых значений g₀ и G₀ в виде m-мерных параллелепипедов не вызывает затруднений.

,

.

Например, в случае однопараметрического объекта и для рассматриваемой линейной модели измерения выражения для безусловных рисков изготовителя и заказчика можно представить в следующем виде:

, (3.63)

. (3.64)

Для уменьшения ошибок контроля целесообразно:

1. уменьшить дисперсию ошибки оптимальной оценки путем использования более точных измерителей (уменьшить ) и оптимальной фильтрации сигналов,

2. использовать комплексную обработку информации путём увеличения числа каналов и оптимальной обработки многомерных сигналов,

3. использовать измерители с некоррелированными погрешностями или измерители, у которых погрешности имеют отрицательный коэффициент корреляции

4.использовать оптимальные методы принятия решений о состоянии объекта контроля,

5. осуществить оптимальный выбор контрольных полей допусков при использовании квазиоптимального способа принятия решения о состоянии объекта контроля.