Вопрос № 12

ЦЕНТР МАСС (центр инерции) тела (системы материальных точек) - точка, характеризующая распределение масс в теле или механическлй системе. При движении тела его центр масс движется как материальная точка с массой, равной массе всего тела, к которой приложены все силы, действующие на это тело. Понятие центра масс отличается от понятия о центре тяжести тем, что последнее имеет смысл только для твердого тела, находящегося в однородном поле тяжести.

Положение центра масс (центра инерции) системы материальных точек в классической механике определяется следующим образом:

где

— радиус-вектор центра масс,

— радиус-вектор i-й точки системы,

— масса i-й точки.

Описание свойств.

Возьмем тело, в котором сила тяжести действует на каждую из составляющих его частей, a mi — масса одной из этих частей. Действующая на нее сила тяжести будет тогда равна произведению mi на g. Возникает вопрос: в какой точке нужно приложить одну-единственную силу, чтобы сбалансировать притяжение всего тела так, чтобы оно (если это твердое тело) не вращалось? Ответ: сила должна проходить через центр масс. Доказывается это следующим образом. Чтобы тело не вращалось, сумма моментов всех сил должна быть равна нулю, ибо если нет момента сил, то нет и изменения момента количества движения, а поэтому нет и вращения. Таким образом, мы должны подсчитать сумму всех моментов, действующих на все частицы, и посмотреть, какой получится полный момент относительно любой данной оси: он должен быть равен нулю, если ось проходит через центр масс. Направив ось х горизонтально, а ось у вертикально, мы найдем, что моменты сил равны силам, направленным вниз, умноженным на плечо х (т. е. сила на плечо относительно той оси, для которой измеряется момент силы). Полный же момент равен сумме

Чтобы полный момент отсутствовал, сумма Σ mixi должна быть равна нулю. Но эта сумма равна MX — полной массе, умноженной на расстояние от оси х до центра масс. Итак, это расстояние должно быть равно нулю.

Разумеется, мы провели проверку только для x-направления, однако если мы действительно взяли центр масс, то тело должно быть уравновешено в любом положении, поэтому, повернув его на 90°, мы вместо оси х получим ось у. Другими словами, если держать тело за центр масс, то параллельное гравитационное поле не дает никакого момента сил. Если же объект настолько велик, что становится существенной непараллельность сил притяжения, то точку, в которой должна быть приложена уравновешивающая сила, описать не просто: она несколько отклоняется от центра масс. Вот почему нужно помнить, что центр масс и центр тяжести — разные вещи. Тот факт, что тело, поддерживаемое точно за центр масс, уравновешено в любом положении, имеет еще одно интересное следствие. Если вместо гравитационных сил взять инерционные псевдосилы, возникающие вследствие ускорения, то, чтобы найти точку, уцепившись за которую мы уравновесим все моменты этих сил, можно использовать ту же самую математическую процедуру. Предположим, что мы заключили тело внутрь ящика, который ускоряется вместе со всем его содержимым. Тогда, с точки зрения наблюдателя, сидящего в этом ящике, на тело вследствие инерции будет действовать некая эффективная сила. Иначе говоря, чтобы заставить тело двигаться вместе с ящиком, нужно подталкивать и ускорять его. Эта сила «уравновешивается силой инерции», которая равна массе тела, умноженной на ускорение ящика. Наблюдателю в ящике будет казаться, будто тело находится в однородном гравитационном поле, величина g которого равна ускорению ящика α. Таким образом, инерционные силы, возникающие вследствие ускорения тела, не имеют момента относительно центра масс.

Этот факт имеет очень интересное следствие. В инерционной системе, движущейся без ускорения, момент сил всегда равен скорости изменения момента количества движения. Однако равенство момента силы и скорости изменения момента количества движения остается справедливым даже для ускоряющегося тела, если взять ось, проходящую через центр масс. Таким образом, теорема о равенстве момента сил скорости изменения момента количества движения верна в двух случаях; 1) ось фиксирована — в инерциальной системе; 2) ось проходит через центр масс — даже когда тело ускоряется.