Различные виды уравнения прямой в пространстве

Глава 3 Прямая в пространстве

1 Каноническое уравнение прямой , проходящей через данную точку параллельно вектору

(27)

Рисунок 45

Вектор называют направляющим вектором для прямой . Обращение в нуль одного из знаменателей уравнения (27) означает обращение в нуль соответствующего числителя.

2 Параметрическое уравнение прямой : , (28)

где - переменный параметр, .

В векторной форме уравнение (28) имеет вид , где , .

3 Уравнение прямой, проходящей через две точки и , где (, , одновременно), имеет вид

(29)

Рисунок 46

4 Общее уравнение прямой, которое задается пересечением двух плоскостей:

(коэффициенты при переменных не пропорциональны). Направляющий вектор прямой (27) находится по формуле

или , т.е. (30)

Рисунок 47

§2 Угол между двумя прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве. Условие компланарности двух прямых в пространстве

Пусть прямые и заданы уравнениями:

и .

Под углом между прямыми понимают угол между их направляющими векторами и .

Рисунок 48

Для нахождения острого угла между прямыми и используют формулу вида:

(31)

Условие перпендикулярности двух прямых в пространстве:

Две прямые в пространстве перпендикулярны тогда и только тогда, когда их направляющие вектора перпендикулярны, т.е.

(32)

Рисунок 49

Условие параллельности двух прямых в пространстве: