Задача 2. Доказать, что прямая , , параллельна плоскости .

Доказать, что прямая , , параллельна плоскости .

Решение.

.

.

Прямая параллельна плоскости , если направляющий вектор прямой перпендикулярен

Рисунок 59 нормальному вектору плоскости .

.

прямая параллельна плоскости.

Задача 3 Найти величину угла между прямой , , , и плоскостью .

Решение.

Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

.

Угол между прямой и плоскостью : определяется по формуле

.

Рисунок 60

.

.

, .

Ответ.

Задача 4 При каких значениях и прямая лежит в плоскости ?

Решение. Для прямой, которая задана каноническим уравнением

известен направляющий вектор и точка принадлежащая ей, с координатами . Для плоскости известен нормальный вектор .

Прямая лежит в плоскости, если выполняются Рисунок 61 два условия: 1) и

2) точка лежит в плоскости , т.е.

Ответ.

Задача 5 Установить взаимное расположение прямой и плоскости:

а) и ;

б) и .

Решение.

а) Имеем, направляющий вектор прямой задан координатами , нормальный вектор плоскости задается координатами . Как видно координаты направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости не пропорциональны: прямая не перпендикулярна плоскости . Найдем значение выражения :

.

Условие параллельности прямой и плоскости не выполняется. Значит, прямая пересекает плоскость.

б) Здесь, вектора направляющий и нормальный заданы координатами и точка лежащая на прямой , , , проверим равенство . Следовательно, данная прямая параллельна плоскости или лежит на ней. Проверим условия принадлежности прямой плоскости: .

Условия выполняются, поэтому прямая лежит в плоскости.