Линейные операторы, действующие в евклидовом пространстве

Среди линейных операторов, действующих в евклидовом пространстве, наибольший интерес представляют ортогональные и симметричные операторы.

Линейный оператор , действующий в евклидовом пространстве, называется ортогональным, если для любых из этого пространства выполняется равенство . (80)

Теорема 10 В любом ортонормированном базисе матрица ортогонального оператора является ортогональной.

Линейный оператор , действующий в евклидовом пространстве, называют симметричным (самосопряженным), если для всех из этого пространства выполняется равенство . (81)

Теорема 11 В любом ортонормированном базисе матрица симметричного оператора является симметричной, т.е. .

Сформулируем свойства симметричного оператора.

1° Симметричный оператор, действующий в евклидовом пространстве , остается симметричным в любом инвариантном относительно линейного оператора подпространстве () евклидова пространства .

2° Все корней характеристического уравнения симметричного оператора – действительные числа и, следовательно, являются его собственными значениями.

3° Симметричный оператор всегда имеет собственные векторы.

4° Для симметричного оператора, действующего в евклидовом пространстве, существует ортонормированный собственный базис этого оператора.

5° Собственные векторы симметричного оператора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны между собой.