Практическое занятие № 7

Задача 1 Является ли линейным оператор , переводящий вектор в вектор , заданный координатами в том же базисе что и . В случае линейности преобразования найти матрицу преобразования в том же базисе что и .

а) ; б) ; в) .

Решение.

Оператор называется линейным оператором, если выполняются два условия: 1) , если - любой вектор пространства, - любое число;

2) , где и - любые два вектора пространства .

а) . Проверим выполнимость двух условий:

1) ,

, следовательно, первое условие выполнено.

2) .

.

Второе условие также выполняется. Таким образом, линейный оператор , переводящий вектор в вектор с координатами является линейным. Следовательно, матрица данного линейного оператора имеет вид:

б)

Проверим выполнимость двух условий:

1) , , следовательно, первое условие выполняется.

2) ,

,

.

Второе условие не выполняется и данный оператор не является линейным.

в)

Проверим выполнимость двух условий:

1) ,

.

Первое условие не выполняется и оператор не является линейным.

Задача 2 Рассмотрим отображение которое каждый вектор преобразует в его векторное произведение на орт оси В силу свойств векторного произведения это отображение – линейный оператор. Найдем матрицу этого линейного оператора в (правом) ортонормированном базисе

Решение.

Найдем образы базисных векторов и разложим их по тому же базису. Так как то первый столбец в матрице нулевой.

Второй столбец в матрице : .

Третий столбец в матрице : .

Итак, матрица имеет вид:

Задача 3 Матрица

определяет линейное преобразование

В прямоугольной системе координат оно соответствует нахождению для произвольного вектора его составляющей (т.е. ортогональной проекции) по оси

Задача 4 Матрица

определяет линейное преобразование

В прямоугольной системе координат оно соответствует нахождению для произвольного вектора его составляющей (т.е. ортогональной проекции) на плоскость

Задача 5 Пусть есть вращение на угол .

Решение.

Возьмем специальный базис , (состоящий из единичных и взаимно перпендикулярных векторов). Тогда, если , то , , где , - полярные координаты конца вектора . Так как вектор получается поворотом вокруг точки на угол , то , . Отсюда

,

;

раскрывая скобки в правых частях этих равенств и полагая , , найдем

,

.

Это и есть координатное представление вращения в базисе , .

Матрица вращения имеет вид .

Задача 6 Пусть - вращение на угол , - вращение на угол . Очевидно, есть вращение на угол ; в данном случае .

Решение.

Возьмем специальный базис , ; тогда данные преобразования будут иметь соответственно матрицы

, .

Применяя правило умножения матриц, получим

.

Отсюда

.

Этот результат можно было заранее предвидеть, так как есть матрица вращения на угол . В данном случае матрицы и совпадают.

Задача 7 Пусть есть сжатие к оси (т.е. в направлении оси ) с коэффициентом , - сжатие к оси (т.е. в направлении оси ) с коэффициентом . Матрицы этих преобразований соответственно будут

, ; умножая и , получим . Матрица такого вида называется диагональной. Таким образом, диагональная матрица отвечает произведению двух сжатий к координатным осям.

Задача 8 Построить ортонормированную систему векторов по линейно независимой системе , , . Координаты векторов заданы в естественном базисе.

Решение.

Проверим систему векторов на линейную независимость. Вектора линейно независимые, если их линейная комбинация при коэффициентах Подставим значения в данное равенство, получим:

линейно независимы.

1) Построим вспомогательную систему - попарно ортогональные векторы:

а) ;

б) , где .

;

в) , где и .

.

2) Построим ортонормированную систему:

; ; .

Ответ. , ,