![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Определение квадратичной формы. Закон инерции. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методами Лагранжа и ортогонального преобразования
Квадратичной формой называется функция переменных где Матрица Как следует из определения квадратичной формы, Квадратичную форму можно записать в матричном виде:
Линейным преобразованием переменных называется преобразование или в матричной записи Матрица
Линейное преобразование (83) называется невырожденным, если его матрица В этой главе все результаты относительно квадратичной формы формулируются в классе линейных невырожденных преобразований.
Рангом квадратичной формы называется ранг ее матрицы.
Теорема 1 Ранг квадратичной формы не изменяется при линейном невырожденном преобразовании. Теорема 2 Для любой квадратичной формы существует линейное невырожденное преобразование переменных, приводящее ее к каноническому виду, т.е. к виду Отметим, что матрица квадратичной формы канонического вида является диагональной. Эта теорема доказывается с помощью метода выделения полного квадрата, который называется методом Лагранжа. Следует иметь в виду, что канонический вид квадратичной формы, так же как и линейное невырожденное преобразование, которое приводит квадратичную форму к каноническому виду, определяются неоднозначно. Однако при этом справедлив закон инерции квадратичной формы: число слагаемых с положительными каноническими коэффициентами и число слагаемых с отрицательными каноническими коэффициентами постоянно и не зависит от линейного невырожденного преобразования, приводящего квадратичную форму к каноническому виду.
Линейное преобразование называется ортогональным, если его матрица является ортогональной.
Теорема 3 Для любой квадратичной формы
Канонические коэффициенты
|