Формальные аксиоматические теории.

Форма́ льная систе́ ма (или форма́ льная тео́ рия) — результат строгой формализации теории, предполагающей полную абстракцию от смысла слов используемого языка, причем все условия, регулирующие употребление этих слов в теории, явно высказаны посредством аксиом и правил, позволяющих вывести одну фразу из других^[1].

Формальная система – это совокупность чисто абстрактных объектов, не связанных с внешним миром, в котором представлены правила оперирования множеством символов в строго синтаксической трактовке без учета смыслового содержания, т.е. семантики. Строго описанные формальные системы появились после того, как была поставлена задача Гильберта. Первые ФС появились после выхода книг Рассела и Уайтхеда «Формальные системы». Этим ФС были предъявлены определенные требования

Формальная теория считается определенной, если^[2]:

1. Задано счетное множество произвольных символов. Конечные последовательности символов называются выражениями теории.

2. Имеется подмножество выражений, называемых формулами.

3. Выделено подмножество формул, называемых аксиомами.

4. Имеется конечное множество отношений между формулами, называемых правилами вывода.

Обычно имеется эффективная процедура, позволяющая по данному выражению определить, является ли оно формулой. Часто множество формул задаётся индуктивным определением. Как правило, это множество бесконечно. Множество символов и множество формул в совокупности определяют язык или сигнатуру формальной теории.Чаще всего имеется возможность эффективно выяснять, является ли данная формула аксиомой; в таком случае теория называется эффективно аксиоматизированной или аксиоматической. Множество аксиом может быть конечным или бесконечным. Если множество аксиом бесконечно, то, как правило, оно задаётся с помощью конечного числа схем аксиом и правил порождения конкретных аксиом из схемы аксиом. Обычно аксиомы делятся на два вида: логические аксиомы (общие для целого класса формальных теорий) и нелогические или собственные аксиомы (определяющие специфику и содержание конкретной теории).Для каждого правила вывода R и для каждой формулы A эффективно решается вопрос о том, находится ли выбранный набор формул в отношенни R с формулой A, и если да, то A называется непосредственным следствием данных формул по правилу R.

Выводом называется всякая последовательность формул такая, что всякая формула последовательности есть либо аксиома, либо непосредственное следствие каких-либо предыдущих формул по одному из правил вывода.

Формула называется теоремой, если существует вывод, в котором эта формула является последей.Теория, для которой существует эффективный алгоритм, позволяющий узнавать по данной формуле, существует ли ее вывод, называется разрешимой; в противном случае теория называется неразрешимой.

Теория, в которой не все формулы являются теоремами, называется абсолютно непротиворечивой.