Односторонние пределы

Понятие предела функции в точке можно разложить на две составляющие части: предел функции , когда , оставаясь меньше , т.е. слева, и предел функции , когда , оставаясь больше , т.е. справа. В этом случае говорят об односторонних пределах, обозначая их или (для левостороннего предела) и или (для правостороннего предела).

Определение. Пусть точка является предельной точкой для множества . Тогда число называется пределом слева функции при , если

.

Определение. Пусть точка является предельной точкой для множества . Тогда число называется пределом справа функции при , если

.

Сравнение этих определений и определения предела функции в точке показывает, что если функция имеет предел в точке , то этот предел одновременно является ее левосторонним и правосторонним пределами в этой точке.

Связь между пределом и односторонними пределами функции устанавливает следующая теорема.

Теорема. Для того чтобы существовал необходимо и достаточно, чтобы существовали односторонние пределы и , и = . В этом случае общее значение односторонних пределов равно значению предела функции: .

Замечание. Предел элементарной функции при , где принадлежит области её определения, равен значению функции при . В этом случае говорят, что функция непрерывна в точке .